forum.zadania.info

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki:
a) \(y_{n+1}-y_n=6n-8, y_0=6\)
b)\(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18*4^n, y_0=4, y_1=14\)

a) pewnie jest na to jakaś wyrafinowana metoda, ale ja to tak bym robił
\(y_n=y_{n-1}+6(n-1)-8=y_{n-2}+6(n-2)-8+6(n-1)-8=y_{n-2}+6 \left[ (n-2)+(n-1)\right] -2 \cdot 8=\\
=y_{n-3}+6 \left[(n-1)+(n-2)+(n-3) \right] -3 \cdot 8=\ldots =y_0+ 6\left[(n-1)+(n-2)+\ldots+1+0 \right]-n \cdot 8=\\
=6+6 \cdot \frac{n(n-1)}{2}-8n\)
Zatem

• \(y_n=3n^2-11n+6,\,\,\, n=0,1,2,\ldots\)

Sprawdzenie (które oczywiście niczego nie dowodzi, ale można przez indukcję):

\(\begin{vmatrix}\text{wg. wzoru} && \text{rekurencyjnie} \\
y_0=6&&y_0=6 \\
y_1=3-11+6=-2 && y_1=6+6 \cdot 0-8=-2 \\
y_2=12-22+6=-4&&y_2=-2+6-8=-4\end{vmatrix}\)

b) tutaj mamy równanie niejednorodne drugiego stopnia
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=0\)
To daje wielomian \(q^2-4q+4=0 \iff (q-2)^2\) czyli rozwiązanie równania jednorodnego ma postać \[y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n\]

Gdyby to już było wszystko, to spełnione byłoby równanie jednorodne, a my mamy \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18 \cdot 4^n\)
Zgadujemy, że brakuje jeszcze składnika \(y_1=C \cdot 4^n\). Wstawiając to do naszego równania, otrzymamy
\(C \cdot 4^{n+2}-4C \cdot 4^{n+1}+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n\\
16C \cdot 4^n-16C \cdot 4^n+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n \iff C=4,5\)
Teraz dobieramy współczynniki tak, aby przy \(y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n\) było \(y_0=4\) i \(y_1=14\). Rozwiązujac nietrudny układ równań dostajemy A=-0,5, B=-1,5

Rozwiązaniem spełniającym wszystkie warunki jest \[y_n=- \frac{1}{2} \cdot 2^n- \frac{3}{2} n \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n=2^{n-1} \left(9 \cdot 2^n-3n-1 \right)\]

dziękuje, nie bardzo rozumiem jak to jest robione, pomożesz mi jeszcze z dwoma przykładami?, jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to
a)\(y_{n+1}+y_n=4n-6 ~~~~y_0=6\)
b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)

peresbmw pisze:dziękuje, nie bardzo rozumiem jak to jest robione, pomożesz mi jeszcze z dwoma przykładami?, jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to
a)\(y_{n+1}+y_n=4n-6 ~~~~y_0=6\)
b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)

Czego nie rozumiesz?
Wydaje się, że te dwa przykłady są bardzo podobne do tych przeze mnie rozwiązanych.
Twoje stwierdzenie "jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to", to taki chwyt marketingowy, co?
To się samo nie zrozumie, trzeba przeanalizować rozwiązanie. Masz ten komfort, że możesz zapytać skąd coś się wzięło.
Pewnie nie zdajesz sobie sprawy (bo i skąd), że to dużo dłubania i nawet podziękować ci się nie chce kliknięciem, a jesteś stałym bywalcem.

skąd bierzemy w podpunkcie b że \(y_ 1=c*4^n\)?

Ponieważ wynik ma postać \(18 \cdot 4^n\), więc przewidujemy, że ten "dodatek" powinien być postaci \(c \cdot 4^n\)

b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)
to w tym przypadku będzie 4C?

Tak by należało przypuszczać, ale ... wtedy ciąg \(y_n\) jest stały i dostajemy \(4c-16c+12c=4 \iff 0=4\).
W takich przypadkach modyfikujemy przewidywanie: \(y_n=4Cn\)