Strona 1 z 1
równania
: 08 maja 2019, 10:01
autor: peresbmw
Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
a) \(y'-y= \frac{e^x}{2x-1} , y(0)=7\)
b)\(y"+y=4sinx, y(0)=7, y( \frac{ \pi }{2})=13\)
Proszę o pomoc w rozpisaniu tych zadań bo kompletnie nie wiem jak tego typu zdania się robi
Re: równania
: 08 maja 2019, 11:54
autor: radagast
peresbmw pisze:Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
a) \(y'-y= \frac{e^x}{2x-1} , y(0)=7\)
\(y'-y= 0\)
\(y'= y\)
\(y=Ce^x\)
\(y=C(x)e^x\)
\(y'=C'(x)e^x+C(x)e^x\)
\(C'(x)e^x+C(x)e^x-C(x)e^x= \frac{e^x}{2x-1}\)
\(C'(x)e^x= \frac{e^x}{2x-1}\)
\(C'(x)= \frac{1}{2x-1}\)
\(C'(x)= \frac{1}{2} \frac{2}{2x-1}\)
\(C(x)= \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x-1}dx\)
\(C(x)= \frac{1}{2} \ln|2x-1|+D\)
\(C(x)= \ln \sqrt {|2x-1|}+D\)
\(y= \left(\ln \sqrt {|2x-1|}+D \right) e^x\)
\(y(0)=7 \So \left(\ln \sqrt {1}+D \right)=7 \So D=7\)
ODP:
\(y= \left(\ln \sqrt {|2x-1|}+7 \right) e^x\)
: 08 maja 2019, 12:07
autor: peresbmw
nie rozumiem skąd się wzięło \(y=Ce^x\)
Re:
: 08 maja 2019, 12:40
autor: radagast
peresbmw pisze:nie rozumiem skąd się wzięło \(y=Ce^x\)
\(y'=y\)
\(\frac{dy}{dx} =y\)
\(\int_{}^{} \frac{dy}{y} = \int_{}^{} dx\)
\(\ln y=x+E\)
\(y=e^{x+E}\)
\(y=Ce^{x}\)
Ale warto pamiętać, że jedyną funkcją równą swojej pochodnej jest
\(y=Ce^x\).
: 08 maja 2019, 12:50
autor: peresbmw
ok dziękuję a pomożesz mi z podpunktem b?
Re: równania
: 08 maja 2019, 21:37
autor: panb
peresbmw pisze:Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
b)\(y"+y=4sinx, y(0)=7, y( \frac{ \pi }{2})=13\)
Proszę o pomoc w rozpisaniu tych zadań bo kompletnie nie wiem jak tego typu zdania się robi
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne, tzn.
\(y''+y=0\)
Równanie charakterystyczne dla tego równania różniczkowego to
\(r^2+1=0 \iff r=0 \pm 1i\), więc jego rozwiązaniem jest
\(y_0=A \sin x+B \cos x\) - łatwo sprawdzisz, że
\(y''_0+y_0=0\)
Teraz
metodą przewidywania (patrz notatki z wykładu) przewidujemy, że aby wyszło nie zero tylko
\(4 \sin x\), trzeba do policzonej funkcji
\(y_0\) dodać funkcję
\(y_s=x(C \cos x+D \sin x)\) z takimi współczynnikami C, D, że
\(y''_s+y_s=4 \sin x\)
Łatwo policzysz, że
\(y''_s+y_s=2D \cos x-2C \sin x \equiv 4\sin x \iff C=-2, \,\, D=0\), więc
\(y_s=-2x\cos x\).
Szukana funkcja
\(y=y_0+y_s=A\sin x+B\cos x-2x\cos x\)
Mam nadzieję, że potrafisz uwzględnić warunki brzegowe i w ten sposób znaleźć A i B.
P.S.
Fajnie jakbyś tu napisał ile ci wyszło, dla kogoś kto będzie rozwiązywał podobne albo takie samo zadanie.
: 09 maja 2019, 11:55
autor: peresbmw
niestety nie było mnie na tych zajęciach i kompletnie nie wiem o co chodzi w tych równaniach różniczkowych i nie wiem jak mam to doliczyć
: 10 maja 2019, 16:01
autor: panb
No, nie wierzę!
- Za x wstawiasz 0 i ma wyjść 7
za x wstawiasz \(\pi/2\) i ma wyjść 13