forum.zadania.info

Znajdź współrzędne takiego punktu A leżącego na paraboli o równaniu \(y=-x^2+4x\), aby styczna do tej paraboli poprowadzona z punktu A wraz z prostymi o równaniach x=0, x=2 i y=0 wyznaczały trapez o możliwie najmniejszym polu.

Współrzędne punktu \(A\) to \((a, - a^2+4a)\),
pochodna tej funkcji to \(-2x+4\), stąd styczna przez punkt \(A\) ma równanie \((-2a+4)(x-a)-a^2+4=(-2a+4)x+a^2\)
Obliczmy teraz długości naszych dwóch podstaw, dla \(x=0 \So a^2 \wedge x=2 \So a^2-4a+8\), zatem najmniejsze pole będzie gdy suma tych dwóch podstaw będzie możliwie najmniejsza, funkcja \(2a^2-4a+8\) ma ekstrumum dla \(a=1\) i jest to minimum lokalne w naszym przedziale (wydaje mi się, że \(a\) nie ma żadnych ograniczeń i należy do zbioru liczb rzeczywistych), więc współrzędne tego punktu to \((1,3)\)