forum.zadania.info

a) \(z=8-4x-2y, gdzie x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0.\)

b) \(z= \sqrt{R^2-x^2-y^2} , gdzie x^2+y^2 \le R^2\)

Proszę o podpowiedz jak to zrobić

a) Zgodnie z teorią \(|S|=\iint_D \sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy\), gdzie D to rzut płata na płaszczyznę Oxy
Trzeba policzyć ten obszar całkowania \(D\)

• \(z>0 \iff 8-4x-2y>0 \iff 0<y<4-2x\)
  Ponieważ \(x>0\), więc \(4-2x>0 \iff 0<x<2\)

Ostatecznie \(|S|= \sqrt{1+16+4}\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{4-2x}dy \right)dx=\ldots 4\sqrt{21}\)

b) podstawiamy \(x=r\cos\varphi,\,\, y=r\sin\varphi\)
Wtedy obszar D to \(0\le r\le R, \,\,0\le\varphi\le2\pi\)
\(z_x= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}= -\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{R^2-r^2}} \quad z_y=\frac{-y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}= -\frac{r\sin\varphi}{\sqrt{R^2-r^2}} \\
z'^2_x+z'^2_y= \frac{r^2}{R^2-r^2}\)

Zatem
\(|S|= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{R} \left(\sqrt{1+\frac{r^2}{R^2-r^2}}\right)rdr=2\pi R \int_{0}^{R} \frac{rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=2\pi R^2\)

Sprawdź rachunki, ale chyba OK, bo to półsfera o promieniu R, więc powierzchnia się zgadza.

dzięki wielkie