Oblicz granice dwóch zmiennych

[egi]

Jak poradzić sobie z cosinusami?

a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)


b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)


c) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2*\cos(\frac{1}{x^4+y^4})\)

[radagast]

a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)

\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos t}{t^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \Lim_{t\to 0 } \frac{\sin^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \frac{1}{2}\)

[radagast]

Jak poradzić sobie z cosinusami?

b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)

\(-(x^2+y^2) \le (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y} \le (x^2+y^2)\)
tymczasem
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} -(x^2+y^2)=0=\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\)
zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ,\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}=0\)

[radagast]

c) identycznie jak b)