Jak poradzić sobie z cosinusami?
a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)
c) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2*\cos(\frac{1}{x^4+y^4})\)
Oblicz granice dwóch zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Oblicz granice dwóch zmiennych
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos t}{t^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \Lim_{t\to 0 } \frac{\sin^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \frac{1}{2}\)egi pisze:
a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Oblicz granice dwóch zmiennych
\(-(x^2+y^2) \le (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y} \le (x^2+y^2)\)egi pisze:Jak poradzić sobie z cosinusami?
b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)
tymczasem
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} -(x^2+y^2)=0=\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\)
zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ,\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}=0\)