Oblicz granice dwóch zmiennych

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
egi
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 31 sty 2019, 20:29
Podziękowania: 15 razy

Oblicz granice dwóch zmiennych

Post autor: egi » 14 kwie 2019, 20:21

Jak poradzić sobie z cosinusami?

a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)


b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)


c) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2*\cos(\frac{1}{x^4+y^4})\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Re: Oblicz granice dwóch zmiennych

Post autor: radagast » 14 kwie 2019, 21:32

egi pisze:
a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos t}{t^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \Lim_{t\to 0 } \frac{\sin^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \frac{1}{2}\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Re: Oblicz granice dwóch zmiennych

Post autor: radagast » 14 kwie 2019, 21:41

egi pisze:Jak poradzić sobie z cosinusami?

b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)
\(-(x^2+y^2) \le (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y} \le (x^2+y^2)\)
tymczasem
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} -(x^2+y^2)=0=\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\)
zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ,\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}=0\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 14 kwie 2019, 21:41

c) identycznie jak b)