Obliczyć granicę dwóch zmiennych

[zaqws]

\(\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{ \ln (1+xy)}{y}\)

[radagast]

Zbadajmy granicę: \(\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} e^ \frac{ \ln (1+xy)}{y}=\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} e^ {\ln (1+xy) \cdot \frac{ 1}{y}}=\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} {(1+xy) ^ \frac{ 1}{y}}=e\)
Zatem
\(\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{ \ln (1+xy)}{y}=1\)

[Młodociany całkowicz]

Zbadajmy granicę: \(\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} e^ \frac{ \ln (1+xy)}{y}=\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} e^ {\ln (1+xy) \cdot \frac{ 1}{y}}=\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} {(1+xy) ^ \frac{ 1}{y}}=e\)
Zatem
\(\Lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{ \ln (1+xy)}{y}=1\)

Niestety to może być nieprawda, bo jeśli istotnie założymy x=1 otrzymamy:
\(\Lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}}=e\)
Jeśli natomiast podstawimy \(x=\frac{1}{e^y}\), Wolphram podaje różne granice lewostronną i prawostronną (z lewej wychodzi 0, z prawej nieskończoność).

[Młodociany całkowicz]

Ale chyba Wolphram się pomylił,albo ja się przy czymś pomyliłem, bo jeśli \(x=e^{-y}\), to korzystając z reguły de l'Hospitala otrzymujemy granicę równą 1.
Mimo wszystko podejrzewam, że ta granica nie istnieje. Spójrzcie:
Podstawiając za x f(y) dążące do 1 przy y dążącym do 0 otrzymujemy:
\(\Lim_{ y \to 0} \frac{ln(1 + yf(x))}{y}\)
Licznik i mianownik dążą do 0, więc możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala. Powyższa granica jest zatem równa:
\(\Lim_{y \to 0} \frac{f(y) + f'(y)y}{1+yf(y)}\)
Bardzo duże obawy budzi u mnie składnik \(f'(y)y\) Co jeśli \(f'(y)\) dąży do nieskonczoności szybciej niż liniowo? Jeśli istnieje takie f(y), wówczas granica jest nieokreślona.