forum.zadania.info

Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(Z=X+Y\), jeśli zmienne \(X\) i \(Y\) mają rozkład jednostajny na przedziałach odpowiednio: \(\left[ 0,2\right]\) i \(\left[ 0,3\right]\).
Wyznaczyłam dystrybuanty zmiennych \(X\) i \(Y\) i próbuję skorzystać ze wzoru na splot, jednak nie wiem, jak wyznaczyć przedziały całkowania (w których obie gęstości są niezerowe).

\(h(x)=\int_\rr f(x-t)g(t)dt=\int_\rr \mathbb{I}_{[x-2,x]}\mathbb{I}_{[0,3]}dt\)
Rozważamy trzy przypadki inspirowane poniższym rysunkiem:

1. \(x\in [0,2]: \quad h(x)= \int_{0}^{x} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}dt= \frac{1}{6}x\)
2. \(x\in[2,3]:\quad h(x)= \int_{x-2}^{x} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} dt= \frac{1}{3}\)
3. \(x\in [3,5]:\quad h(x)= \int_{x-2}^{3} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{5-x}{6}\)

Więc funkcja gęstości zmiennej X+Y, \(h(x)= \begin{cases} \frac{1}{6}x &x\in[0,2] \\ \frac{1}{3} &x\in [2,3]\\ \frac{5-x}{6}&x\in [3,5]\\0& w \,p.p. \end{cases}\)
Całkują otrzymasz dystrybuantę. Niech to będzie twój wkład własny w rozwiązanie.
Smacznego!

Dla porządku podam odpowiedź:
\[F(x)= \begin{cases}0&x\le0\\ \frac{x^2}{12}&0\le x \le 2\\ \frac{x-1}{3}&2\le x \le 3\\ \frac{-x^2+10x-13}{12}&3 \le x \le 5\\1& x\ge 5 \end{cases}\]