Stożek i stożek ścięty

[kajan]

Dany jest stożek o wysokości H i kącie \(\alpha\) nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.
Stożek ten przecina płaszczyzna równoległa do podstawy.
Otrzymane dwie części stożka mają równe pola powierzchni.
Wyznacz wysokość otrzymanego stożka ściętego.

Proszę o pomoc

[korki_fizyka]

Skorzystaj z tw. Talesa.

[radagast]

Ja mam nieco bardziej zawiły pomysł (ale gotowiec ) :

ScreenHunter_612.jpg (9.36 KiB) Przejrzano 1312 razy

Oznaczenia jak na obrazku. I teraz :
\(\pi R^2+\pi R L-\pi r l+ \pi r^2=\pi r^2+\pi r l\)
czyli
\(R^2+R L=2 r l\)
tymczasem:
\(R=H \ctg \alpha\)
\(r=(H-x) \ctg \alpha\)
\(L= \frac{R}{ \cos \alpha} =\frac{H \ctg \alpha}{ \cos \alpha}=\frac{H }{ \sin \alpha}\)
\(l= \frac{r}{ \cos \alpha} = \frac{(H-x) }{ \sin \alpha}\)
I teraz wstawiamy to do otrzymanego równania:
\(H^2 \ctg^2 \alpha+H \ctg \alpha \cdot \frac{H }{ \sin \alpha} =2(H-x) \ctg \alpha \cdot \frac{(H-x) }{ \sin \alpha}\)
dzieląc obustronnie przez \(\ctg^2 \alpha\) otrzymuję:
\(H^2 + \frac{H^2 }{ \cos \alpha} =2 \frac{(H-x)^2 }{ \cos \alpha}\)
czyli
\(H^2 \cos^2 \alpha +H^2 =2 (H-x)^2\)
czyli
\(H-x= \frac{ \sqrt{2H^2 +2} }{ 2}\cos \alpha\)
czyli
\(x= H- \frac{ \sqrt{2H^2 +2} }{ 2}\cos \alpha\)