Strona 1 z 1
Wyprowadzenie wzoru na styczną do okręgu w danym punkcie
: 20 mar 2019, 21:40
autor: tmath
Witam, czy może ktoś wyjaśnić skąd się wziął ten wzór:
(x - a)(x_A - a) + (y - b)(y_A - b) = r^2
gdzie a, b - współrzędne okręgu
x_A, y_A - współrzędne punktu A należącego do okręgu
r - promień okręgu
: 20 mar 2019, 21:55
autor: Galen
Równanie okręgu o środku S= (a;b) i promieniu r
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Punkt styczności \(A=(x_A;y_A)\)
Prosta SA jest prostopadła do stycznej.
Odległość punktu S od stycznej k równa jest r.
: 20 mar 2019, 22:11
autor: tmath
To wydaje się logiczne, ale wciąż nie wiem skąd wziął się ten wzór
Próbowałem to sobie narysować ale jedyne co on mi podpowiada to układ równań.
Ten powyższy wzór nie wygląda mi już na kwadrat odległości.
: 21 mar 2019, 12:16
autor: Galen
Styczna \(k\) do okręgu o środku S=(0;0) i promieniu r przechodząca przez punkt \(P=(x_o;y_o)\) leżący na tym okręgu ma równanie :
\(x_ox+y_oy=r^2\)
Wektor \([x_o;y_o] \perp k\)
Jeśli środek okręgu jest w punkcie \(S=(a;b)\),to można przesunąć układ współrzędny o wektor \([-a;-b]\),żeby mieć środek okręgu w początku układu współrzędnych.
Wtedy współrzędne punktów P i S zmienią się \(P=(x_o-a;y_o-b)\;\;wektor \;prostopadły\;do\;prostej\;k\;ma\;współrzędne\; [x_o-a;x_o-b]\)
Podstawiając do równania otrzymujemy równanie stycznej:
\((x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(x-b)=r^2\)
Znacznie prościej jest napisać równanie prostej SP(S i P są dane),a następnie prostej prostopadłej przez punkt P i mamy styczną do okręgu .
Re: Wyprowadzenie wzoru na styczną do okręgu w danym punkcie
: 21 mar 2019, 20:26
autor: tmath
Dzięki @Galen, rozjaśniłeś.