Dla każdych z podanych rekurencyjnych definicji znajdź wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu. odpowiedź poprzyj dowodem.
\(a_1=3\), \(a_{n+1}=a_n(2a_n+1)^{-1}\)
dla wszystkich \(n \in N\)
wyraz ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
lolipop692
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
\(a_1=3\), \(a_{n+1}= \frac{a_n}{2a_n+1}\)
\(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
dowód (indukcyjny):
dla n=1
\(a_1= \frac{3}{6 \cdot 1-5} =3\) OK
zał ind: istnieje \(n\in N\) takie ,że \(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
teza: \(a_{n+1}= \frac{3}{6(n+1)-5}\)
dowód:
\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}= \frac{ \frac{3}{6n-5}}{2 \frac{3}{6n-5}+1}= \frac{3}{6+6n-5} =\frac{3}{6(n+1)-5}\)
cbdo
\(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
dowód (indukcyjny):
dla n=1
\(a_1= \frac{3}{6 \cdot 1-5} =3\) OK
zał ind: istnieje \(n\in N\) takie ,że \(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
teza: \(a_{n+1}= \frac{3}{6(n+1)-5}\)
dowód:
\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}= \frac{ \frac{3}{6n-5}}{2 \frac{3}{6n-5}+1}= \frac{3}{6+6n-5} =\frac{3}{6(n+1)-5}\)
cbdo