forum.zadania.info

1.Na płaszczyźnie narysowano kilka prostych w taki sposób, że wśród miar kątów, pod jakimi się ˛ one przecinają, znajdują się wszystkie z miar 10◦, 20 ◦, 30 ◦, 40 ◦, 50 ◦, 60 ◦, 70 ◦, 80 ◦, 90 ◦. Jaka jest najmniejsza liczba narysowanych prostych?
Odpowiedzi to:
A 4 B 5 C 6 D 7 E 8 K29.


2.Niech M oznacza iloczyn obwodu pewnego trójkąta i sumy długości wszystkich trzech wysokości tego trójkąta. Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe, jeśli pole trójkąta jest równe 1?
A M może być większe od 1000
B Zawsze M>6
C M może być równe 18
D Jeśli trójkąt jest prostokątny, to M>16
E M może być mniejsze od 12

1. Alternatywnie:
W pęku 5 prostych kąty miedzy kolejnymi prostymi to 60,10,20,50 stopni.

2)
\(M=(a+b+c)(h_a+h_b+h_c)=(a+b+c)( \frac{2}{a} +\frac{2}{b}+\frac{2}{c})=18 \frac{a+b+c}{3} \frac{\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \ge \\ \ge 18 \sqrt[3]{abc} \sqrt[3]{\frac{1}{a}\frac{1}{b}\frac{1}{c}}=18\)