Sprawdź czy funkcja jest bijekcją

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zielony_z_matmy
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 03 mar 2019, 09:30
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Sprawdź czy funkcja jest bijekcją

Post autor: zielony_z_matmy » 04 mar 2019, 21:29

Dane jest odwzorowanie \(f\). Sprawdź czy jest ono bijekcją. Jeśli tak, to wyznacz \(f^{-1}\).
\(f:\rr^2 \to \rr^2\), f(x,y) = (2x,x+y).

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 06 mar 2019, 21:58

Załóżmy, że \(f(a,b)=f(c,d) \iff (2a, a+b)=(2c, c+d) \So \begin{cases} 2a=2c\\a+b=c+d\end{cases} \iff \begin{cases}a=c\\c+b=c+d \end{cases} \iff \begin{cases} a=c\\b=d\end{cases}\)
Zatem \(f(a,b)=f(c,d) \So a=c \wedge b=d\). f jest 1-1. jest też 'na', bo każdą liczbę a\in \rr można zapisać w postaci
a=x+(a-x), więc (a,b)=f(0,5a, b-0,5a)

Korzystając z tego zapisu można też napisać wzór na \(f^{-1}:\quad f^{-1}(x,y)= \left( \frac{1}{2}x ,y- \frac{1}{2}x \right)\).
Istotnie \(f^{-1}(f(x,y))=f^{-1}(2x,x+y)= \left( \frac{1}{2} \cdot 2x,x+y-\frac{1}{2} \cdot 2x\right)=(x,y)\)
Podobnie \(f \left(f^{-1} \right) (x,y)=(x,y)\) - sprawdź osobiście.

Odp.: jest bijekcją i \(f^{-1}(x,y)= \left( \frac{1}{2}x ,y- \frac{1}{2}x \right)\)

zielony_z_matmy
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 03 mar 2019, 09:30
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Post autor: zielony_z_matmy » 08 mar 2019, 10:29

Bardzo dziękuję za pomoc