forum.zadania.info

W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A=(2,-5) oraz równania prostych zawierających dwie jego środkowe: 4x+5y=0 i x-3y=0. Wyznacz wierzchołki B i C.

Niech \(B=(b_x,b_y),\,\,\, C=(c_x,c_y)\)
Środkowe przecinają się w jednym punkcie, tutaj tym punktem jest O(0,0).
Punkt B leży na jednej ze środkowych, więc spełnia jej równanie: \(b_x=3b_y\).
Punkt C leży na drugiej środkowej, więc spełnia jej równanie: \(4c_x=-5c_y\).
Ponadto z własności punktu przecięcia środkowych, mamy
\(\vec{AO}+\vec{BO}+\vec{CO}=\vec{0} \iff [-2,5]+[-b_x,-b_y]+[-c_x,-c_y]=[0,0]\)
To daje układ równań: \(\begin{cases} b_x=3b_y\\4c_x=-5c_y\\b_x+c_x=-2\\b_y+c_y=5\end{cases}\), którego rozwiązaniem jest \(\begin{cases} b_x=3\\b_y=1\\c_x=-5\\c_y=4\end{cases}\) co daje

Odpowiedź: B=(3,1), C=(-5,4)