Strona 1 z 1
Zadanie z Indukcji Matematycznej
: 24 lut 2019, 21:07
autor: Berciwo
Witam prosiłbym o wskazówki i spostrzeżenia jak udowodnić tą równość
\(\1^4+2^4+...+n^4+\frac{1^2+2^2+...+n^2}{5}=\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)}{10},\;\;n\geq 1.\)
Re: Zadanie z Indukcji Matematycznej
: 25 lut 2019, 06:23
autor: kerajs
\(n=1\\
L=1^4+ \frac{1^2}{5}= \frac{6}{5}\\
P= \frac{1^22^23}{10}= \frac{6}{5}\)
\(n=k\\
1^4+2^4+...+k^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2}{5}=\frac{k^2(k+1)^2(2k+1)}{10}\)
\(n=k+1\\
1^4+2^4+...+k^4+(k+1)^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2}{5}=\frac{(k+1)^2(k+1+1)^2(2(k+1)+1)}{10}\\
L=1^4+2^4+...+k^4+(k+1)^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2}{5}=1^4+2^4+...+k^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2}{5}+(k+1)^4+\frac{(k+1)^2}{5}=\\=\frac{k^2(k+1)^2(2k+1)}{10}+(k+1)^4+\frac{(k+1)^2}{5}=(k+1)^2 \cdot \frac{k^2(2k+1)+10(k+1)^2+2}{10}=(k+1)^2 \cdot \frac{2k^3+11k^2+20k+12}{10}=\\=(k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)(2k^2+7k+6)}{10}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2(2k+3)}{10}=P\)