Zadanie z Indukcji Matematycznej

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Berciwo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 18 lut 2019, 15:41
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Zadanie z Indukcji Matematycznej

Post autor: Berciwo » 24 lut 2019, 22:07

Witam prosiłbym o wskazówki i spostrzeżenia jak udowodnić tą równość

\(\1^4+2^4+...+n^4+\frac{1^2+2^2+...+n^2}{5}=\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)}{10},\;\;n\geq 1.\)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1981
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 850 razy
Płeć:

Re: Zadanie z Indukcji Matematycznej

Post autor: kerajs » 25 lut 2019, 07:23

\(n=1\\
L=1^4+ \frac{1^2}{5}= \frac{6}{5}\\
P= \frac{1^22^23}{10}= \frac{6}{5}\)


\(n=k\\
1^4+2^4+...+k^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2}{5}=\frac{k^2(k+1)^2(2k+1)}{10}\)

\(n=k+1\\
1^4+2^4+...+k^4+(k+1)^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2}{5}=\frac{(k+1)^2(k+1+1)^2(2(k+1)+1)}{10}\\
L=1^4+2^4+...+k^4+(k+1)^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2}{5}=1^4+2^4+...+k^4+\frac{1^2+2^2+...+k^2}{5}+(k+1)^4+\frac{(k+1)^2}{5}=\\=\frac{k^2(k+1)^2(2k+1)}{10}+(k+1)^4+\frac{(k+1)^2}{5}=(k+1)^2 \cdot \frac{k^2(2k+1)+10(k+1)^2+2}{10}=(k+1)^2 \cdot \frac{2k^3+11k^2+20k+12}{10}=\\=(k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)(2k^2+7k+6)}{10}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2(2k+3)}{10}=P\)