Strona 1 z 1
kosinus kata
: 14 lut 2019, 19:11
autor: inter
Rozważamy wszystkie czworokąty wypukłe ABCD w których suma długości odcinków AB i BC jest równa 6 ,\(| AD | = | DC |\) , odległość punktu D od przekątnej AC jest równa 1,5 oraz kąt BAC jest prosty. Oblicz cosinus kąta BCD w tym z rozważanych czworokątów który ma największe pole.
Re: kosinus kata
: 14 lut 2019, 21:47
autor: Panko
\(|AB|= a, |BC|=b,|AC|=d,\) ,\(\\) \(a+b=6\) , \(a \in (0,3)\)
\(d= \sqrt{ 36-12a}\)
Pole czworokąta ABCD \((a)=\) \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot d + \frac{1}{2} \cdot d \cdot a = \sqrt{36-12a} \cdot ( \frac{3}{4} +\frac{a}{2} )\) \(\)
\(P'(a)=0\) \(\\) \(a=\frac{3}{2}\) , i \(P(a)\) ma w nim maksimum
Wtedy \(|CA|= 3 \sqrt{2}\) .
Szukany kosinus możemy zachłannie policzyć licząc osobno sinusy i kosinusy kątów \(x = \angle BCA, y= \angle DCA\) , z powstałych trójkątów prostokątnych i stosując funkcję \(cos ( x+y)=....\) ( 3 minuty rachunków)