Całki

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cFFaniak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 126
Rejestracja: 23 lis 2013, 18:38
Podziękowania: 126 razy
Płeć:

Całki

Post autor: cFFaniak » 12 lut 2019, 13:16

Witam mam problem z kilkoma całkami, a mianowicie:

1) \(\int \frac{dx}{e^x+e^{2x}}\)
2) \(\int \frac{x^4*arctgx*dx}{1+x^2}\)
3) \(\int \frac{dx}{x*(x+1)^2}\)
4) \(\int \frac{ \sqrt{9-x^2} }{x}\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13713
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8069 razy
Płeć:

Re: Całki

Post autor: eresh » 12 lut 2019, 13:42

cFFaniak pisze:Witam mam problem z kilkoma całkami, a mianowicie:

1) \(\int \frac{dx}{e^x+e^{2x}}\)
\(e^x=t\\
e^xdx=dt\\
dx=\frac{dt}{t}
\int\frac{dt}{t(t+t^2)}=\int\frac{dt}{t^2(1+t)}=-\int\frac{dt}{t}+\int\frac{dt}{t^2}+\int\frac{dt}{t+1}=...\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13713
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8069 razy
Płeć:

Re: Całki

Post autor: eresh » 12 lut 2019, 13:47

cFFaniak pisze:Witam mam problem z kilkoma całkami, a mianowicie:

3) \(\int \frac{dx}{x*(x+1)^2}\)
rozkład na ułamki proste
\(\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+1)^2}\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 12 lut 2019, 14:29

Wzór: \(\int \tg^m(x)dx= \frac{\tg^{m-1}x}{m-1}-\int \tg ^{m-2}x dx\). Stąd \(\int \tg^4 x dx=x+ \frac{1}{3}\tg^3 x-\tg x +C\)
Teraz
  • \(\int \frac{x^4\arctg x}{1+x^2}dx= \begin{vmatrix}y=\arctg x \So x=\tg y\\dy= \frac{dx}{1+x^2} \end{vmatrix}=\int y\tg^4y dy= \begin{vmatrix}u=y & du=dy\\dv=\tg^4y dy &v=y+ \frac{\tg^3y}{3}-\tg y \end{vmatrix}=\\=
    y \left( y+ \frac{\tg^3y}{3}-\tg y\right) -\int \left( y+ \frac{\tg^3y}{3}-\tg y\right)dy\)
Nie będzie łatwo, ale myślę, że dalej już dasz radę.

cFFaniak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 126
Rejestracja: 23 lis 2013, 18:38
Podziękowania: 126 razy
Płeć:

Post autor: cFFaniak » 12 lut 2019, 15:12

Dziękuję Wam bardzo za pomoc, wszystkie wyszły. Jednak nadal mam problem z tym czwartym :/
Gdyby był sam pierwiastek to zrobiłbym z metody współczynników nieoznaczonych (wzór z lambdą), a tak to nie bardzo wiem jak to ugryźć...

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13713
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8069 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 13 lut 2019, 10:35

\(\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}dx=\int\frac{9-x^2}{x\sqrt{9-x^2}}dx=9\int\frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}-\int\frac{xdx}{\sqrt{9-x^2}}\)
w pierwszej całce podstawienie \(\frac{1}{x}=t\So x=\frac{1}{t}\So dx=\frac{-dt}{t^2}\)
w drugiej \(9-x^2=t^2\)

Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 126
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Całki

Post autor: Robakks » 22 mar 2019, 13:20

\(\int{\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\mbox{d}x}\\
\sqrt{9-x^2}=t\\
t^2=9-x^2\\
2t\mbox{d}t=-2x\mbox{d}x \\
x\mbox{d}x=-t\mbox{d}t\\
\int{\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\mbox{d}x}=\int{x\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{-t^2}{9-t^2}\mbox{d}t}=\int{\frac{9-t^2-9}{9-t^2}\mbox{d}t}\\
=\int{\mbox{d}t}-\int{\frac{9}{9-t^2}\mbox{d}t}\\
=\int{\mbox{d}t}-\frac{3}{2}\int{\frac{\left(3-t \right)+\left(3+t\right)}{ \left(3-t \right)\left(3+t \right) }\mbox{d}t}\\
=t-\frac{3}{2}\ln{ \left|\frac{3+t}{3-t} \right| }+C\\
=\sqrt{9-x^2}-\frac{3}{2}\ln{ \left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{3-\sqrt{9-x^2}} \right| }+C\\
=\sqrt{9-x^2}-\frac{3}{2}\ln{ \left|\frac{\left(3+\sqrt{9-x^2}\right)^2}{9-\left(9-x^2\right)} \right| }+C\\
=\sqrt{9-x^2}-\frac{3}{2}\ln{ \left|\frac{\left(3+\sqrt{9-x^2}\right)^2}{x^2} \right| }+C\\
=\sqrt{9-x^2}-3\ln{\left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}\right|}+C\\\)


Jak widać po wyniku (patrz argument logarytmu) dobrym pomysłem byłoby zastosowanie drugiego podstawienia Eulera


\(\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{x^4-1+1}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{x^4-1}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}+\int{\frac{\arctan{x}}{x^2+1}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}=\int{ \left(x^2-1 \right)\arctan{x}\mbox{d}x }+\int{\frac{\arctan{x}}{x^2+1}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}= \left(\frac{1}{3}x^3-x \right) \arctan{x}-\frac{1}{3}\int{\frac{x^3-3x}{x^2+1}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\arctan^{2}{x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}= \left(\frac{1}{3}x^3-x \right) \arctan{x}-\frac{1}{3}\int{\frac{x^3+x-4x}{x^2+1}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\arctan^{2}{x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}= \left(\frac{1}{3}x^3-x \right) \arctan{x}-\frac{1}{3}\int{x\mbox{d}x}+\frac{2}{3}\int{\frac{2x}{x^2+1}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\arctan^{2}{x}\\
\int{\frac{x^4}{x^2+1}\arctan{x}\mbox{d}x}= \left(\frac{1}{3}x^3-x \right) \arctan{x}-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}\ln{ \left|x^2+1 \right| }+\frac{1}{2}\arctan^{2}{x}+C\\\)


\(\int{\frac{\mbox{d}x}{x \left(x+1 \right)^2 }}\\
t=\frac{1}{x+1}\\
\mbox{d}t=-\frac{1}{\left(x+1 \right)^2}\mbox{d}x\\
x+1=\frac{1}{t}\\
x=\frac{1-t}{t}\\
\int{\frac{t}{t-1}\mbox{d}t}=\int{\frac{t-1+1}{t-1}\mbox{d}t}\\
\int{\frac{t}{t-1}\mbox{d}t}=\int{\mbox{d}t}+\int{\frac{1}{t-1}\mbox{d}t}\\
\int{\frac{t}{t-1}\mbox{d}t}=t+\ln{ \left|t-1 \right| }+C\\
\int{\frac{\mbox{d}x}{x \left(x+1 \right)^2 }}=\frac{1}{x+1}+\ln{ \left|\frac{1-x-1}{x+1} \right| }+C\\
\int{\frac{\mbox{d}x}{x \left(x+1 \right)^2 }}=\frac{1}{x+1}+\ln{ \left|\frac{x}{x+1} \right| }+C\\\)