forum.zadania.info

Wyznacz współrzędne wektora \((x,y,z,u,v)=(3,1,0,2,2)\) w wybranej bazie przestrzeni rozwiązań układu równań :\(x+y-z-u-v=x+y+z-u-v=0\)

proszę o pomoc jak to rozwiązać

bardzo mi zależy aby zrozumieć to zadanie,

Najpierw trzeba znaleźć bazę rozwiązań. Zapisując układ w znanej postaci dostajemy
\(\begin{cases}x+y-z-u-v=0\\x+y+z-u-v=0 \end{cases}\)
Odejmując równania stronami otrzymamy z=0, teraz biorąc x, y i u jako parametry można zapisać, że
\(\begin{cases}z=0\\v=x+y-u \end{cases}\), czyli rozwiązanie możemy zapisać w postaci
\(\left( x,y,0,u, x+y-u\right)=x(1,0,0,0,1)+y(0,1,0,0,1)+u(0,0,0,1,-1)\), co daje wektory bazowe
\(\{(1,0,0,0,1), (0,1,0,0,1), (0,0,0,1,-1)\}\)

Teraz już nietrudno zapisać wektor (3,1,0,2,2) jako kombinację liniową tych trzech wektorów:
\((3,1,0,2,2)=3 \cdot (1,0,0,0,1)+1 \cdot (0,1,0,0,1)+2 \cdot (0,0,0,1,-1)\), zatem

• współrzędne tego wektora w bazie przestrzeni rozwiązań układu równań to (3,1,2)