forum.zadania.info

\(A: \rr^2 \to \rr^2\) jest odwzorowaniem liniowym takim, że \(A\)([1, 1]) = [2, 1], \(A\)([2, 1]) = [1, 1].
Wyznaczyć \(A\)([1, 0]) oraz \(A\)([0, 1]).
Znaleźć macierz odwzorowania w bazach kanonicznych.
Wyznaczyć \(A\)([x, y]), oraz \(A^{-1}\)([x, y]).

Proszę o pomoc/wskazówki.

\(A \left([x,y] \right)=[ax+by,cx+dy]\). Wykorzystując podane wartości znajdujesz a, b, c i d.
Dalej, zdaje się, już potrafisz.
W razie czego - pisz.

Rozpisałem to tak:

\(a[1,1]+b[2,1]=[2,1],\)
\(c[1,1]+d[2,1]=[1,1],\)

rozwiązałem układ równań i otrzymałem: \(a=0, b=1, c=1, d=0\)

Obliczyłem \(A([x,y])=[y,x],\)

następnie macierz odwzorowania w bazach kanonicznych:

\(A([1,0])=[0,1],\)
\(A([0,1])=[1,0],\)

czyli macierz ta wygląda tak:

\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}\)

Następnie obliczyłem macierz odwrotną do powyższej:

\(\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0 \end{bmatrix}\)

Wyznaczyłem \(A^{-1}:\)

\(A^{-1}([x,y])=[-y,-x].\)

Wszystko się zgadza, czy coś źle zrozumiałem?

Ja to zrobiłem inaczej. Przyjąłem, że \(A([x,y])=[ax+by,cx+dy]\)
Biorąc twoje odwzorowanie \(A([x,y])=[y,x]\) dostajemy \(A([1,1])=[1,1] \neq [2,1]\)

Mnie wyszło \(A([x,y])=[3y-x,y]\). Sprawdź, że to się zgadza z danymi i potem pociągnij dalej.

Ok, ale nadal nie bardzo rozumiem w jaki sposób wyliczyłeś to A([x,y]), nie wiem co gdzie podstawić aby wyszedł poprawny wynik, mógłbyś to jakoś rozpisać?

Jeśli \(A([x,y])=[ax+by,cx+dy] \So \\A([1,1])=[a+b,c+d]=[2,1]\\
A([2,1])=[2a+b,2c+d]=[1,1]\)
Stąd dostajemy układy: \(\begin{cases} a+b=2\\2a+b=1\end{cases} \wedge \begin{cases} c+d=1\\2c+d=1\end{cases}\)