forum.zadania.info

Oblicz całkę \(\int \frac{3+sinx}{1+cosx}dx\)

\(\displaystyle \int \frac{3+\sin x}{1+\cos x}dx=\int \frac{3+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{1+\cos^2 \frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2} }dx=\int \frac{3+ \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} +\sin^2 \frac{x}{2} } }{1+ \frac{\cos^2 \frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2} }{\cos^2 \frac{x}{2} +\sin^2 \frac{x}{2} } }dx=\int \frac{3+ \frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg ^2 \frac{x}{2} } }{1+ \frac{1 -\tg ^2 \frac{x}{2}}{1 +\tg ^2 \frac{x}{2} } }dx=\\
\displaystyle\int \frac{3\tg^2 \frac{x}{2} + 2\tg \frac{x}{2}+3 }{2 }dx= \frac{1}{2} \int 3\tg^2 \frac{x}{2} + 2\tg \frac{x}{2}+3 dx\)
I teraz podstawienie \(t= \tg \frac{x}{2}\) sprowadzi ten problem do całki z funkcji wymiernej (pracochłonne ale skuteczne )