MiedzianyDawid pisze:Dokładam jeszcze jeden podpunkt
e)f(x)=
\(\frac{x^2}{x+|7-2x|}\)
\(f(x)=\frac{x^2}{x+|7-2x|}=\begin{cases}\frac{x^2}{-x+7}\mbox{ dla }x\in (-\infty, \frac{7}{2}]\\ \frac{x^2}{3x-7}\mbox{ dla }x\in (\frac{7}{2},\infty)\end{cases}\)
1. dla
\(x\in (-\infty, \frac{7}{2})\)
\(f'(x)=\frac{2x(-x+7)+x^2}{(-x+7)^2}\\
f'(x)=\frac{-x^2+14x}{(7-x)^2}\\
f'(x)=\frac{-x(x-14)}{(7-x)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, 0)\cup (0,\frac{7}{2})\)
w przedziale
\((-\infty, \frac{7}{2})\) nie ma ekstremów
2. dla
\(x\in (\frac{7}{2},\infty)\)
\(f'(x)=\frac{2x(3x-7)-3x^2}{((3x-7)^2}\\
f'(x)=\frac{3x^2-14x}{(3x-7)^2}\\
f'(x)=\frac{x(3x-14)}{(3x-7)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (\frac{14}{3},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (\frac{7}{2},\frac{7}{3})\cup (\frac{7}{3},\frac{14}{3})\\
f_{min}=f(\frac{14}{3})\)
3.
\(x=\frac{7}{2}\)
\(\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}f'(x)=\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}\frac{x(3x-14)}{(3x-7)^2}=-1\\\)
\(\Lim_{x\to\frac{7}{2}^-}f'(x)=\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}\frac{-x(x-14)}{(7-x)^2}=3\\\)
\(f'(\frac{7}{2})\mbox{ nie istnieje}\)
z lewej strony
\(x=\frac{7}{2}\) pochodna jest dodatnia, z prawej jest ujemna, więc funkcja ma w tym punkcie maksimum