forum.zadania.info

Zadanie 1.
W trójkącie o bokach długości 3 ; 3,5 i 4,4 na najdłuższym boku znajduje się punkt równo oddalony od dwóch pozostałych boków. Wyznacz długości odcinków na jakie dzieli ten punkt najdłuższy bok trójkąta.
Zadanie 2.
Suma długości przekątnych równoległoboku jest równa 8. Wyznacz jaką najmniejszą wartość może mieć suma kwadratów długości wszystkich boków równoległoboku.

1.
Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie masz:
\(\frac{x}{4,4-x}= \frac{3}{3,5}\)
stąd długości odcinków na jakie punkt dzieli najdłuższy bok trójkąta to: \(\frac{132}{65 }\) oraz \(\frac{154}{65}\)
2.
Niech długość przekątnych wynosi p i 8-p, a kąt między nimi \(\alpha\) .
\(S=2a^2+2b^2=2 \left[ ( \frac{p}{2} )^2+( \frac{8-p}{2} )^2-2( \frac{p}{2} )( \frac{8-p}{2} )\cos \alpha \right]+2\left[ ( \frac{p}{2} )^2+( \frac{8-p}{2} )^2-2( \frac{p}{2} )( \frac{8-p}{2} )\cos ( \pi - \alpha) \right] =\\
=2 \left[ ( \frac{p}{2} )^2+( \frac{8-p}{2} )^2-2( \frac{p}{2} )( \frac{8-p}{2} )\cos \alpha \right]+2\left[ ( \frac{p}{2} )^2+( \frac{8-p}{2} )^2+2( \frac{p}{2} )( \frac{8-p}{2} )\cos \alpha \right] =4\left[ ( \frac{p}{2} )^2+( \frac{8-p}{2} )^2 \right]=\\=2p^2-16p+64\)
Minimum tej funkcji jest dla \(p=4\) i wynosi 32.