forum.zadania.info

Liczby naturalne, dodatnie, uporządkowane rosnąco, podzielono na grupy w następujący sposób :
(1), (2,3), (4,5,6), ... itd.
a następnie obliczono sumę wszystkich liczb z n−tej grupy oraz (n−1) grupy, gdzie n>1 i n
należy do N+
Różnica tych sum jest równa 1306. Oblicz sumę liczb w n−tej grupie.

A więc Sn−S(n−1)=1306
Sn oznaczmy jako sumę n−wyrazowego ciągu bn
S(n−1) oznaczmy jako sumę n−1 wyrazowego ciągu an

I odnalazłem takie zależności : b1 = an+1, r(an) = 1, r(bn) = 1
b1=an+1=(a1+n−1)+1 = a1+n
bn=b1+n−1=(a1+n)+n−1 = a1+2n−1
No i po podstawieniu do różnicy sum tych ciągów, wyszło mi, że :
2a1+2n^2+n−1=2612
No i dwie niewiadome, jedno równanie, czyli jeszcze są jakieś zależności, których ja nie
zauważyłem. Pomożecie?

korki_fizyka pisze:http://matematyka.pisz.pl/forum/383180.html

To ja jestem autorem tamtego tematu, jednakże liczę tu na odpowiedź @radagast bądź @panb lub innych, bo wiem, że oni na 100% tak wytłumaczą, że zrozumiem, czego nie mogę powiedzieć o osobach z tamtego forum.

Niech \(a_n\) oznacza sumę n-tej grupy.
Zauważmy, że
\(a_3=4+5+6=1+2+3+4+5+6-(1+2+3)=S_{1+2+3}-S_{1+2}=S_6-S_2\\
a_4=7+8+9+10=1+2+...+10-(1+2+3+4)=S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)

Zatem \(a_n=S_{1 +2+3+\ldots +n}-S_{1+2+3+\ldots +(n-1)}\), gdzie \(S_m\) oznacza sumę m kolejnych liczb naturalnych od 1 do m i \(S_m= \frac{1+m}{2} \cdot m\)
W takim razie
\(a_n=S_{\frac{n(n+1)}{2}}-S_{\frac{n(n-1)}{2}}= \frac{1+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1+\frac{n(n-1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)

Po wykonaniu obliczeń dostajemy: \[a_n= \frac{n^3+n}{2}\] Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(a_n-a_{n-1}=1306\), a w odpowiedzi należy podać wartość \(a_n\) dla n będącego rozwiązaniem tego równania.

kostek525 pisze:

korki_fizyka pisze:http://matematyka.pisz.pl/forum/383180.html

To ja jestem autorem tamtego tematu, jednakże liczę tu na odpowiedź @radagast bądź @panb lub innych, bo wiem, że oni na 100% tak wytłumaczą, że zrozumiem, czego nie mogę powiedzieć o osobach z tamtego forum.

Tamci też tłumaczą ale jak ich zaczynasz wyzywać to...

panb pisze:Niech \(a_n\) oznacza sumę n-tej grupy.
Zauważmy, że
\(a_3=4+5+6=1+2+3+4+5+6-(1+2+3)=S_{1+2+3}-S_{1+2}=S_6-S_2\\
a_4=7+8+9+10=1+2+...+10-(1+2+3+4)=S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)

Zatem \(a_n=S_{1 +2+3+\ldots +n}-S_{1+2+3+\ldots +(n-1)}\), gdzie \(S_m\) oznacza sumę m kolejnych liczb naturalnych od 1 do m i \(S_m= \frac{1+m}{2} \cdot m\)
W takim razie
\(a_n=S_{\frac{n(n+1)}{2}}-S_{\frac{n(n-1)}{2}}= \frac{1+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1+\frac{n(n-1)}{2}}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\)

Po wykonaniu obliczeń dostajemy: \[a_n= \frac{n^3+n}{2}\] Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(a_n-a_{n-1}=1306\), a w odpowiedzi należy podać wartość \(a_n\) dla n będącego rozwiązaniem tego równania.

Czyli suma n-tej grupy, to suma wszystkich poprzednich razem wziętych + jeszcze coś, tak?
A dlaczego \(S_{1+2+3}-S_{1+2+3}=S_{10}-S_6\)?
Skoro odejmujesz od siebie dwie stałe, to czemu to nie jest równe zero?


@korki_fizyka

Nikogo nie wyzywam, tylko się słownie bronię przed nieuzasadnionym brakiem szacunku ze strony dwóch osób. Jak nie masz bladego pojęcia o sprawie to nie pisz takich rzeczy.

Czepiasz się szczegółów, a ignorujesz ideę. Oczywiście, że tam jest pomyłka. Powinno być \(S_{1+2+3+4}-S_{1+2+3}\).
Zdaje się, że nie zrozumiałeś ...