forum.zadania.info

Rozwiąż równanie
x^2 + x +1/x ... =2

\(x^2, x, 1/x, ...\) to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. \(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{x}{x^2}= \frac{1}{x}\)
Jeśli \(|x|<1 \wedge x \neq 0\), to jest szansa, że \(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots =2\), bo wtedy

\(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots= \frac{x^2}{1-x}\\
\frac{x^2}{1-x}=2 \iff x^2=2(1-x) \iff x^2+2x-2=0,\,\,\, \Delta=12 \So \sqrt{\Delta}=2\sqrt3\\
x_1= \frac{-2-2\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3,\,\,\, x_2=-1+\sqrt3\\

|x_1|\not<1,\,\,\, |x_2|<1\), więc

• Odp.: \(x^2+x+1/x+\ldots=2\) dla \(x=\sqrt3-1\)

panb pisze:\(x^2, x, 1/x, ...\) to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. \(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{x}{x^2}= \frac{1}{x}\)
Jeśli \(|x|<1 \wedge x \neq 0\), to jest szansa, że \(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots =2\), bo wtedy

\(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots= \frac{x^2}{1-x}\\
\frac{x^2}{1-x}=2 \iff x^2=2(1-x) \iff x^2+2x-2=0,\,\,\, \Delta=12 \So \sqrt{\Delta}=2\sqrt3\\
x_1= \frac{-2-2\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3,\,\,\, x_2=-1+\sqrt3\\

|x_1|\not<1,\,\,\, |x_2|<1\), więc

• Odp.: \(x^2+x+1/x+\ldots=2\) dla \(x=\sqrt3-1\)

Skąd wzięło sie x^2/1-x ?

panb pisze:\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

\(a_1=x^2\\q= \frac{1}{x}\\S= \frac{x^2}{1- \frac{1}{x} }=2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;| \frac{1}{x}|<1 \\ \frac{x^2}{ \frac{x-1}{x} }=2\\ \frac{x^3}{x-1}=2\\x^3=2x-2\\x^3-2x+2=0\\x=???\)

Pojawiają się schody, to równanie nie ma całkowitych pierwiastków, ale też podany w zadaniu szereg:

\(x^2+x+1/x+\ldots\)

nie jest tak naprawdę szeregiem geometrycznym chyba, że autor pominął jeden wyraz. Powinno być \[x^2+x+1+1/x+\ldots\] Więc jak to w końcu jest?