forum.zadania.info

Cześć, mam zadanie obliczyć maksymalną objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o boku \(a\) wiedząc, że jego powierzchnia całkowita wynosi \(P \,m ^{2}.\)

Zacząłem od wyznaczenia pola całkowitego:
\(P_c=2 \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} \cdot 3aH.\)

Później wyznaczyłem \(H\):
\(H= \frac{P- \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{2} }{3a}.\)

Dalej podstawiam pod wzór na objętość:
\(V= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{P- \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{2} }{3a}.\)

Nie wiem co dalej z tym zrobić. Prosiłbym o pomoc

Skracasz a i zapisujesz objętość w funkcji boku a, a>0
\(V(a)=-\frac{1}{4}a^3+ \frac{P\sqrt3}{12}a\\
V'(a)=- \frac{3}{4}a^2 +\frac{P\sqrt3}{12}\\
V'(a)=0 \iff a= \frac{ \sqrt{P\sqrt3} }{3}\)

Analizując zmianę znaku pochodnej w otoczeniu tego a stwierdzamy, że \(\frac{ \sqrt{P\sqrt3} }{3}=a_{max}\)

Wstawiasz do wzoru na V (któregokolwiek) i masz \(V_{max}\)
Nie jest to miłe wstawianie, więc zrób to samodzielnie.