forum.zadania.info

Witam, w trakcie powtórek do kolokwium pojawiły się dwa zadania ze zbiorów, których nie potrafię do końca zrobić samemu z pełnym zrozumieniem. W pierwszym poradziłem sobie z superpozycją, lecz dwa następne podpunkty sprawiają mi problem i porównując moje rozwiązania z sugerowanymi przez wykładowcę odpowiedziami to wygląda jakbym robił inne zadanie.. Natomiast drugie to jedno z tych zadań, co do których po prostu potrzebuję wskazówkę jak formalnie to zapisać.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

1.W grupie wszystkich bijekcji \((B( \rr ), \circ )\) zbioru liczb rzeczywistych rozważmy dwa elementy \(f\) i \(g\).
\(\forall x \in \rr \ f(x)=2x+1\) oraz \(g(x) = x^{3}\)
Oblicz \(f \circ g\) i \(g \circ f\), znajdź elementy odwrotne do \(f\) i \(g\) w grupie \((B( \rr ), \circ )\) na koniec zakończ zadanie i rozwiąż równania \(f \circ u = g\) oraz \(u \circ f = g\) z niewiadomą \(u\).

2. Niech \((G, \circ )\) będzie grupą z elementem neutralnym e. Wykaż, że:
a) element \(a \in G\) spełnia warunek \(a \circ a = a\) wtedy i tylko wtedy gdy \(a = e\),
b) jeżeli \(a,b \in G\) są takimi elementami, że \(a^{2} = e\) i \(b^{2} = e\) to \((a \circ b)^{2} =e\) wtedy i tylko wtedy gdy \(a \circ b = b \circ a\)

ad 1

• \(f \circ u=g \So u=f^{-1} \circ g\\
  f^{-1}(x)= \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} \So u= \frac{1}{2} x^3- \frac{1}{2}\)

Łatwo sprawdzić składając, że jest OK (składać umiesz, no nie?)

\(u \circ f=g \So u=g \circ f^{-1}\\\) - spróbuj samodzielnie.

ad 2a)
\(\So \\
\qquad a=e \So a \circ a=e \circ e=e\\
\Leftarrow\\
\qquad a \circ a=a \iff (a \circ a) \circ e=a \iff a \circ (a \circ e)=a \iff a \circ e=e \So e=a \iff a=e\)

ad 2b)
\(\Leftarrow \text{Zał. }:\,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge a \circ b=b \circ a\\
\qquad (a \circ b)^2=(a \circ b) \circ (a \circ b)=a \circ (b \circ a) \circ b=a \circ (a \circ b) \circ b=a^2 \circ b^2=e\\
\So \text{Zał.: } \,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge (a \circ b)^2=e\\
\qquad (a \circ b)^2=e \iff a \circ (a \circ b)^2 \circ b=a \circ e \circ b=a \circ b \iff \\
\qquad\iff (a \circ a) \circ b \circ a \circ (b \circ b)=a \circ b \iff a^2 \circ (b \circ a) \circ b^2=a \circ b \So b \circ a=a \circ b\)

Jest tu parę skrótów, bo pisanie tego w LaTeXu to dość meczące zadanie.
Mam nadzieję, że prześledzisz i zrozumiesz ...

panb pisze:ad 2b)
\(\Leftarrow \text{Zał. }:\,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge a \circ b=b \circ a\\
\qquad (a \circ b)^2=(a \circ b) \circ (a \circ b)=a \circ (b \circ a) \circ b=a \circ (a \circ b) \circ b=a^2 \circ b^2=e\\
\So \text{Zał.: } \,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge (a \circ b)^2=e\\
\qquad (a \circ b)^2=e \iff a \circ (a \circ b)^2 \circ b=a \circ e \circ b=a \circ b \iff \\
\qquad\iff (a \circ a) \circ b \circ a \circ (b \circ b)=a \circ b \iff a^2 \circ (b \circ a) \circ b^2=a \circ b \So b \circ a=a \circ b\)

Jest tu parę skrótów, bo pisanie tego w LaTeXu to dość meczące zadanie.
Mam nadzieję, że prześledzisz i zrozumiesz ...

Dzięki, dziś spróbuję to wszystko zrobić jeszcze raz samemu.