forum.zadania.info

mamy baze (v1,v2,v3) oraz przekrztalcenie V -> V takie ze f(v1) = v1 + v3 . f(v2) = v2 . f(v3) = v1 - v2 +v3
Podac jadro i baze przekrztalcenia liniowego oraz ich wymiary. Mialem to na kolosie i nestety napisalem bzdury , a chcialbym sie dowiedziec jak to powinno sie robic.

\(\ker f=\{v=(x,y,z)\in V: f(x,y,z)=0\}\), czyli zbiór takich elementów przestrzeni V, które po przekształceniu dają zero.

W przekształceniu z zadania mamy: \(f(v)=f(x,y,z)=(x+z,y,x-y+z)\\
f(v)=0 \iff \begin{cases} x+z=0\\y=0\\x-y+z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=x\\y=0\\z=-x\end{cases}\)
Zatem \(\ker f=\{v\in V: v=(x,0,-x)=x \cdot (1,0,1)\}\) i już widać, że wymiar jądra \(\dim (\ker f)=1\)

\(f(x,y,z)=(x+z,y,x-y+z)=x \cdot (1,0,1)+y \cdot (0,1,-1)+z \cdot (1,0,1)\)
Wektory \((1,0,1), (0,1,-1) \text{ oraz } (1,0,1)\) dają przestrzeń liniową będąca obrazem.
Niezależne liniowo są tylko pierwsze dwa wektory (trzeci jest taki jak pierwszy), więc bazą przekształcenia są \(\{(1,0,1),(0,1,-1)\}\).

Dygresja:
Wymiar obrazu jest jest równy 2, wymiar jądra 1, a wymiar przestrzeni wyjściowej 3.
3=1+2 i wszystko się zgadza z teorią, która wymaga, aby \(\dim V= \dim (\ker f)+\dim(im f)\)


P.S. Bazą przekształcenia jest układ wektorów liniowo niezależnych. Gdyby pierwszy i ostatni wektor nie były jednakowe, to trzeba zbudować macierz \(\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\1&0&1 \end{bmatrix}\) i ją zredukować (tak jak przy obliczaniu rzędu).
Tutaj po odjęciu pierwszego wiersza od trzeciego mamy \(\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0 \end{bmatrix}\) i widać co jest bazą.