Grupy - sprawdzenie podgrupy, wewnętrzność działania.
: 19 lis 2018, 19:05
Witam, rozwiązuję zadania z grup. Mam podanych kilkanaście przykładów, w pierwszej kolejności mam sprawdzić czy działanie \(\circ\) jest działaniem wewnętrznym, z tym poszło mi w miare okej. Następnie, jeżeli stwierdziłem wewnętrzność takiego działania, mam sprawdzić czy para \((G, \circ )\) jest grupą oraz czy jest wtedy podgrupą \((R, +)\) lub \((R \bez 0, \cdot )\).
Dla przykładu pierwszego:
Dla \(G = Q, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x + y\)
Działanie jest wewnętrzne. \((G, \circ )\) jest grupą (sprawdziłem łączność, przemienność i istnienie elementu odwrotnego). I teraz, jak sprawdzić czy jest podgrupą jednej z grup z polecenia?
Zrobiłem to tak:
\((R,+)\) to grupa. \(G \subset R.\) Sprawdzam, czy \((G,+)\) to grupa (na podstawie kilku przykładów, które sprawdziłem, ale jak to formalnie zapisać?) , stwierdzam że jest grupą, zatem\((G, \circ )\)jest podgrupą grupy \((R, +).\) \(G\) nie zawiera się w \(R \bez 0\), zatem grupa \((G, \circ )\) nie jest pogrupą grupy \((R \bez 0, \cdot )\).
Wszystko powyżej jest w porządku? Czy brakuje jakiegoś warunku sprawdzającego to czy jest podgrupą?
\(G = Q+, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x \cdot y\) Jak wykonać to zadanie w odniesieniu do tego przykładu?
Dziękuję z góry za wszelką pomoc.
Dla przykładu pierwszego:
Dla \(G = Q, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x + y\)
Działanie jest wewnętrzne. \((G, \circ )\) jest grupą (sprawdziłem łączność, przemienność i istnienie elementu odwrotnego). I teraz, jak sprawdzić czy jest podgrupą jednej z grup z polecenia?
Zrobiłem to tak:
\((R,+)\) to grupa. \(G \subset R.\) Sprawdzam, czy \((G,+)\) to grupa (na podstawie kilku przykładów, które sprawdziłem, ale jak to formalnie zapisać?) , stwierdzam że jest grupą, zatem\((G, \circ )\)jest podgrupą grupy \((R, +).\) \(G\) nie zawiera się w \(R \bez 0\), zatem grupa \((G, \circ )\) nie jest pogrupą grupy \((R \bez 0, \cdot )\).
Wszystko powyżej jest w porządku? Czy brakuje jakiegoś warunku sprawdzającego to czy jest podgrupą?
\(G = Q+, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x \cdot y\) Jak wykonać to zadanie w odniesieniu do tego przykładu?
Dziękuję z góry za wszelką pomoc.