forum.zadania.info

\(\sqrt{a}-\frac{1}{ \sqrt{a}}=3\) i a>0

Oblicz \(\frac{a^2+1}{a}\)

Zaczynając - jako, że a>0, mogę spokojnie podnieść obie strony do kwadratu, a więc :

\((\sqrt{a}-\frac{1}{ \sqrt{a}})^2=9\)

Stąd : \(a-2\sqrt{a}*\frac{1}{\sqrt{a}}+ \frac{1}{a}=9\)
Czyli \(a-2+ \frac{1}{a}=9\) i teraz w tym momencie wiem jaka będzie odpowiedź do zadania, a mianowicie \(\frac{a^2+1}{a}=11\) ale zdecydowałem się obliczyć a, żeby poćwiczyć rachunki matematyczne, bo z tym mam problem, a więc, cofnijmy się do \(a-2+ \frac{1}{a}=9\) i pomnóżmy obie strony przez a i przenieśmy na lewą stronę.
\(a^2-11a+1=0\)
Delta :
\(\Delta=121-4*1*1=117\) stąd \(\Delta=3 \sqrt{13}\)
\(a1= \frac{11-3 \sqrt{13} }{2}\) \(\notin D\)
\(a2= \frac{11+3 \sqrt{13} }{2}\) \(\in D\)

czyli \(a= \frac{11+3 \sqrt{13} }{2}\)
Obliczę \(a^2\) :
\(a^2= (\frac{11+3 \sqrt{13} }{2})^2\)

\(( \frac{11}{2}+ \frac{3 \sqrt{13}}{2})^2\) = \(\frac{121}{4} + \frac{22}{2}* \frac{3 \sqrt{13} }{2} + \frac{117}{4}\)
czyli \(a^2= \frac{119+33 \sqrt{13} }{2}\)
Mam już zarówno a jak i \(a^2\) więc mogę podstawiać.
\(\frac{a^2+1}{a}= \frac{\frac{119+33 \sqrt{13} }{2}+1}{\frac{11+3 \sqrt{13} }{2}}= \frac{\frac{120+33 \sqrt{13} }{2}}{ \frac{11+3 \sqrt{13}}{2} }\)
Gołym okiem widać, że to nie będzie równe liczbie całkowitej = 11, a taka jest prawidłowa odpowiedź. sprawdzałem już z 10 razy i nigdzie nie moge znaleźć błędu.
Towarzysze, pomożecie?

Pomyłka na poczatku, a>1

kostek525 pisze: \(\frac{a^2+1}{a}= \frac{\frac{119+33 \sqrt{13} }{2}+1}{\frac{11+3 \sqrt{13} }{2}}= \frac{\frac{120+33 \sqrt{13} }{2}}{ \frac{11+3 \sqrt{13}}{2} }\)
Gołym okiem widać, że to nie będzie równe liczbie całkowitej = 11, a taka jest prawidłowa odpowiedź. sprawdzałem już z 10 razy i nigdzie nie moge znaleźć błędu.
Towarzysze, pomożecie?

Pomożemy!
\(\frac{a^2+1}{a}= \frac{\frac{119+33 \sqrt{13} }{2}+1}{\frac{11+3 \sqrt{13} }{2}}= \frac{\frac{121+33 \sqrt{13} }{2}}{ \frac{11+3 \sqrt{13}}{2} }=11\)

kerajs pisze:

kostek525 pisze: \(\frac{a^2+1}{a}= \frac{\frac{119+33 \sqrt{13} }{2}+1}{\frac{11+3 \sqrt{13} }{2}}= \frac{\frac{120+33 \sqrt{13} }{2}}{ \frac{11+3 \sqrt{13}}{2} }\)
Gołym okiem widać, że to nie będzie równe liczbie całkowitej = 11, a taka jest prawidłowa odpowiedź. sprawdzałem już z 10 razy i nigdzie nie moge znaleźć błędu.
Towarzysze, pomożecie?

Pomożemy!
\(\frac{a^2+1}{a}= \frac{\frac{119+33 \sqrt{13} }{2}+1}{\frac{11+3 \sqrt{13} }{2}}= \frac{\frac{121+33 \sqrt{13} }{2}}{ \frac{11+3 \sqrt{13}}{2} }=11\)

Mikroskopijny błąd, który zabrał mi 2h życia... Dzięki za pomoc!