funkcja wymierna - nierówności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
funkcja wymierna - nierówności
Oblicz dla jakich argumentów funkcja f(x) = (4 - 2x)/x osiąga wartości mniejsze niż funkcja g(x) = 8/(x + 3).
\(f(x)=\frac{4-2x}{x}\\D_f=R \setminus \left\{0 \right\} \\g(x)=\frac{8}{x+3}\\D_g=R \setminus \left\{-3}\)
\(f(x)<g(x) \Leftrightarrow \right \frac{4-2x}{x}<\frac{8}{x+3} \Leftrightarrow\ \frac{4-2x}{x}-\frac{8}{x+3}<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{(4-2x)(x+3)-8x}{x(x+3)}<0\\\frac{-12x^2-10x+12}{x(x+3)}<0\ /:(-2)\\\frac{6x^2+5x-6}{x(x+3)}>0\\6x^2+5x-6=0\\\Delta=25+144=169\\x=\frac{-5-13}{12}=-\frac{3}{2}\ \vee \ x=\frac{-5+13}{12}=\frac{2}{3}\\\frac{6(x+\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})}{x(x+3)}>0 \Leftrightarrow 6x(x+\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})(x+3)>0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -3) \cup \ (-\frac{3}{2};\ 0)\ \cup \ (\frac{2}{3};\ \infty )\)
\(f(x)<g(x) \Leftrightarrow \right \frac{4-2x}{x}<\frac{8}{x+3} \Leftrightarrow\ \frac{4-2x}{x}-\frac{8}{x+3}<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{(4-2x)(x+3)-8x}{x(x+3)}<0\\\frac{-12x^2-10x+12}{x(x+3)}<0\ /:(-2)\\\frac{6x^2+5x-6}{x(x+3)}>0\\6x^2+5x-6=0\\\Delta=25+144=169\\x=\frac{-5-13}{12}=-\frac{3}{2}\ \vee \ x=\frac{-5+13}{12}=\frac{2}{3}\\\frac{6(x+\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})}{x(x+3)}>0 \Leftrightarrow 6x(x+\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})(x+3)>0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -3) \cup \ (-\frac{3}{2};\ 0)\ \cup \ (\frac{2}{3};\ \infty )\)