forum.zadania.info

Witajcie, szukam pomocy przy takim zadaniu:

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
1. \(f(x)= \ctg ( \frac{ \pi }{3} \cos x)\)
2. \(f(x)= \ctg ( \frac{ \pi }{6} \cos x)\)
w odpowiedziach podane jest rozwiązanie:
ad. 1.\((- \infty , -\frac{ \sqrt{3} }{3} ) \cup ( \frac{ \sqrt{3} }{3},+ \infty )\)
ad. 2.\((- \infty , -\sqrt{3} ) \cup ( \sqrt{3},+ \infty )\)
Nie wiem dlaczego przedziały biegną w minus nieskończoność oraz w nieskończoność....(?)
wiem skąd biorą się punkty graniczne ale nie rozumiem tej odpowiedzi. Może ktoś mógłby łopatologicznie mi to wytłumaczyć. Ładnie proszę

Mi82 pisze:Witajcie, szukam pomocy przy takim zadaniu:

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
1. \(f(x)= \ctg ( \frac{ \pi }{3} \cos x)\)
2. \(f(x)= \ctg ( \frac{ \pi }{6} \cos x)\)
w odpowiedziach podane jest rozwiązanie:
ad. 1.\((- \infty , -\frac{ \sqrt{3} }{3} ) \cup ( \frac{ \sqrt{3} }{3},+ \infty )\)
ad. 2.\((- \infty , -\sqrt{3} ) \cup ( \sqrt{3},+ \infty )\)
Nie wiem dlaczego przedziały biegną w minus nieskończoność oraz w nieskończoność....(?)
wiem skąd biorą się punkty graniczne ale nie rozumiem tej odpowiedzi. Może ktoś mógłby łopatologicznie mi to wytłumaczyć. Ładnie proszę

1. \(f(x)= \ctg ( \frac{ \pi }{3} \cos x)\)
\(\cos x \in <-1, 1>\)
\(\frac{ \pi }{3} \cos x \in <-\frac{ \pi }{3},\frac{ \pi }{3}>\)
Tymczasem tylko fragment przedziału \(<-\frac{ \pi }{3},\frac{ \pi }{3}>\) przecina się z dziedziną funkcji \(\ctg\). Jest to całkiem duży fragment: \(<-\frac{ \pi }{3},0> \cup <0,\frac{ \pi }{3}>\)
W przedziale \(<-\frac{ \pi }{3},0>\) \(\ctg\) maleje od \(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\) do \(- \infty\), a w przedziale \(<0,\frac{ \pi }{3}>\) \(\ctg\) maleje od \(\infty\) do \(\frac{ \sqrt{3} }{3}\)
Moim zdaniem odpowiedź powinna być taka: \((- \infty , -\frac{ \sqrt{3} }{3} > \cup < \frac{ \sqrt{3} }{3},+ \infty )\)

Bardzo dziękuję za wytłumaczenie. Teraz odpowiedź jest już dla mnie jasna. Podana odpowiedź jest zgodna z kluczem w zbiorze zadań - to ja źle przepisałam, za co przepraszam (nawiasy powinny być domknięte). Zastanawiam się tylko, dlaczego tutaj:
\(<-\frac{ \pi }{3},0> \cup <0,\frac{ \pi }{3}>\) krańce przedziałów przy zerze są domknięte?

Mi82 pisze: Zastanawiam się tylko, dlaczego tutaj:
\(<-\frac{ \pi }{3},0> \cup <0,\frac{ \pi }{3}>\) krańce przedziałów przy zerze są domknięte?

A to już moja pomyłka, oczywiście powinno być \(<-\frac{ \pi }{3},0) \cup (0,\frac{ \pi }{3}>\) (zero nie należy do dziedziny funkcji ctg)