stereometria

[Kowal1998]

W sześcian wpisano kulę, w którą wpisany jest drugi sześcian. Stosunek objętości sześcianu większego do objętości sześcianu mniejszego jest równy?

[korki_fizyka]

\(16 \sqrt{2}\)

[radagast]

\(3 \sqrt{3}\), bo:
jak się w sześcian o krawędzi \(a\) wpisze kulę o promieniu \(r\) to \(2r=a\)
jak się na sześcianie o krawędzi \(a_1\) opisze kulę o promieniu \(r\) to \(2r=a_1 \sqrt{3}\) czyli \(a_1= \frac{2r}{ \sqrt{3} }\)
stąd:
\(\frac{a^3}{a_1^3}= \frac{8r^3}{ \frac{8r^3}{3 \sqrt{3} } } =3 \sqrt{3}\)

[korki_fizyka]

jak się na sześcianie o krawędzi \(a_1\) opisze kulę o promieniu \(r\) to \(2r=a_1 \sqrt{3}\) czyli \(a_1= \frac{2r}{ \sqrt{3} }\)

a skąd ten pomysł z tw. Pitagorasa \((2r)^2 = 2a^2\) więc \(a =r \sqrt{2}\).

\(\frac{V_{dużego}}{V_{małego}} =2 \sqrt{2}\)