forum.zadania.info

Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność: \(\sqrt{5}^{\sqrt{3}} > \sqrt[3]{7}^{\sqrt{2}}\)
Wykaż, że dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) jeżeli \(x^2 + y^2 \leqslant 2\), to \(\vert x + y \vert \leqslant 2\).
Wykaż, że jeśli \(a - b = 1\) i \(a > 0\), \(b > 0\), to \(\frac{a+ b}{a^3 + b^3} < 2\)

m1505 pisze: Wykaż, że jeśli \(a - b = 1\) i \(a > 0\), \(b > 0\), to \(\frac{a+ b}{a^3 + b^3} < 2\)

\(a-b=1\\
a=1+b\)

\(\frac{a+ b}{a^3 + b^3} < 2\\
\frac{a+b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}<2\\
\frac{1}{a^2-ab+b^2}<2\\
1<2(a^2-ab+b^2)\\
1<2a^2-2ab+2b^2\\
2(1+b)^2-2b(1+b)+2b^2-1>0\\
2+4b+2b^2-2b-2b^2+2b^2-1>0\\
2b^2+2b+1>0\\
\Delta<0\)
dla każdego b nierówność jest spełniona

m1505 pisze:Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność: \(\sqrt{5}^{\sqrt{3}} > \sqrt[3]{7}^{\sqrt{2}}\)

a)
\(5^{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }>7^{ \frac{ \sqrt{2} }{3} }\\
\frac{ \sqrt{3} }{2} \log 5 > \frac{ \sqrt{2} }{3} \log 7\\
\frac{27}{8}> (\frac{ \log 5 }{ \log 7} )^2\)
bierzesz tablice, kalkulator i wyliczasz prawą stronę
b)
\(5^{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }=(5^5)^{ \frac{ \sqrt{3} }{10} }>(7^4)^{ \frac{ \sqrt{3} }{10} }=7^{ \frac{ 2\sqrt{3} }{5} }=7^{ \sqrt{ \frac{12}{25} } }>7^{ \sqrt{ \frac{2}{9} } }=7^{ \frac{ \sqrt{2} }{3} }\)

m1505 pisze: Wykaż, że dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) jeżeli \(x^2 + y^2 \leqslant 2\), to \(\vert x + y \vert \leqslant 2\).

a)Tu proponuję dowód geometryczny. Narysuj koło \(x^2 + y^2 \leqslant 2\) oraz pas \(-2 \le x + y \le 2\) Czy każdy punkt koła należy do pasa?