forum.zadania.info

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych \(x^{2018} = 1\).

A czy to jest poprawne?
\(x^{2018} = 1^{2018}\)
\(x = 1\) bo \(1^{2018} = 1\)
lub
\(x = -1\) bo \((-1)^{2018} = 1^{2018} = 1\)

R0x pisze:A czy to jest poprawne?
\(x^{2018} = 1^{2018}\)
\(x = 1\) bo \(1^{2018} = 1\)
lub
\(x = -1\) bo \((-1)^{2018} = 1^{2018} = 1\)

tak

Tylko zastanawia mnie syatuacja przy rozwiązaniu takiego równania tym sposobem, w takim przypadku, jest to trochę żmudne:
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} - 1 = 0\)
\((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1)(x^{64} + 1)(x^{128} + 1)(x^{256} + 1)(x^{512} + 1) = 0\)
Ale wiadomo, że wszystko zależy od sytuacji, wtedy dopasujmy ten sposób, który jest najlepszy.

R0x pisze:Tylko zastanawia mnie syatuacja przy rozwiązaniu takiego równania tym sposobem, w takim przypadku, jest to trochę żmudne:
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} - 1 = 0\)
\((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1)(x^{64} + 1)(x^{128} + 1)(x^{256} + 1)(x^{512} + 1) = 0\)

można to spierwiastkować stronami

\(\sqrt[1024]{x^{1024}}=\sqrt[1024]{1}\\
|x|=1\\
x=1\;\;\vee\;\;x=-1\)

Tak jest ok ?
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} = 1^{1024}\)
\(\sqrt[1024]{x^{1024}} = \sqrt[1024]{1^{1024}}\)
\(|x|= 1\)
\(x = 1 \vee x = -1\)

R0x pisze:Tak jest ok ?
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} = 1^{1024}\)
\(\sqrt[1024]{x^{1024}} = \sqrt[1024]{1^{1024}}\)
\(|x|= 1\)
\(x = 1 \vee x = -1\)

tak

Czy dopuszczalne jest użycie pierwiastka 1024 stopnia za kreską boczną przy pierwiastkowaniu obustronnym, gdy przechodzi równanie na wartość bezwzględną ?
...
\(x^{1024} = 1^{1024}/ \sqrt[1024]{}\)
...

jeżeli obie strony równania są nieujemne to można pierwiastkować stronami (pierwiastek stopnia parzystego)

Ponieważ \(1^{1024} > 0\) i dla \(x \in R\) wartość wyrażenia \(x^{1024} \ge 0\) więc można. Dzięki.