Strona 1 z 1
równoległobok
: 15 wrz 2018, 10:29
autor: enta
Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E należy do boku AB a punkt F należy do boku AD. Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prosta CD w punkcie Q. Wykaż, że niezależnie od wyboru punktów E i F pole trójkąta CEF jest równa polu trójkąta APQ.
: 16 wrz 2018, 14:43
autor: enta
pomocy, nie wiem jak się za to zabrać
: 16 wrz 2018, 17:20
autor: kerajs
Niech:
\(\left| AB\right|=a\\
\left| AC\right|=b\\
\left| AE\right|=x\\
\left| AF\right|=y\\
\angle BAD= \alpha\)
wtedy:
\(P_{CEF}=P_{ABCD}-P_{AEF} -P_{BCE}-P{CDF} =\\=ab\sin \alpha - \frac{1}{2}xy\sin \alpha - \frac{1}{2}(a-x) \cdot b\sin \left( \pi - \alpha \right) - \frac{1}{2}a \cdot (b-y)\sin \left( \pi - \alpha \right)=\\=\frac{1}{2}\sin \alpha \left( ay+bx-xy \right)\)
\(P_{APQ}=P_{AEF}+P{AEP} +P{AFQ}=P_{AEF}+(P_{ABP} -P_{BEP})+(P{ADQ}-P{DFQ})=\\=
\frac{1}{2}xy\sin \alpha+\frac{1}{2}a \cdot \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha-\frac{1}{2}(a-x) \cdot \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha+\\+\frac{1}{2}b \cdot \frac{x(b-y)}{y} \sin \alpha-\frac{1}{2}(b-y) \cdot {x(b-y)}{y} \sin \alpha=\frac{1}{2}\sin \alpha \left( ay+bx-xy \right)\)