forum.zadania.info

Udowodnij, że: \(x^{12}+x ^{4}+1>x ^{9} +x.\)

Ta nierówność jest równoważna z: \(x^{12}+x ^{4}+1-x ^{9} -x>0\)
Lewą stronę można zwinąć do:
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1\)
a)
co dla \(x \in \rr \bez \left( 0,1\right)\) spełnia
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1 \ge 1>0\)
b)
dla \(x \in \left( 0,1\right)\) zachodzi:
\(1>x \wedge x^4>x^9\)
a stąd wynika:
\(L=x^{12}+x ^{4}-x ^{9}+1 -x > x^{12}>0\)

A można podstawić pod x na przykład 0 albo jedynkę? wtedy od razu widać