gaz doskonaly przemiana termo.
: 16 sie 2018, 22:34
Hej, hej!
Mam zadanko, które (chyba poprawnie) rozwiązałem, ale wydaje mi się, że coś tu nie gra. Byłbym wdzięczny jeśli ktoś sprawdziłby czy jest rozwiązane poprawnie, a jeśli nie, wskazał błąd/błędy i może coś podpowiedział
Oto treść:
Jeden mol gazu doskonałego przeszedł ze stanu opisanego parametrami \(p_{0}\), \(V_{0}\) do stanu o objętości \(V_{1} = 2V_{0}\). Przemiana prowadzona była tak, że \(pV^3 = const.\). Znajdź pracę, ciepło wymienione z otoczeniem oraz zmianę energii wewnętrznej. Ciepło molowe \(c_{v}\) jest znane.
Na początku praca:
\(dW = -pdV\)
z warunków przemiany \(pV^3 = p_{0}V_{0}^3 \So p = p_{0}(\frac{V_{0}}{V})^3\)
\(dW = -p_{0}V_{0}^3 \frac{dV}{V^3}\)
\(W = -p_{0}V_{0}^3 \int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{dV}{V^3} = 2p_{0}V_{0}^3 (\frac{1}{4V_{0}^2} - \frac{1}{V_{0}^2}) = -\frac{3}{2}p_{0}V_{0}\)
Do znalezienia ciepła i zmiany energii wewnętrznej zrobiłem sobie cykl:
Po kazdym cyklu zmiana energii wewnętrznej:
\(\Delta U_{total} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0\)
Dla B \(\to\) C:
\(\Delta U_{BC} = c_{p}(T_{B} - T_{C})\)
Dla C \(\to\) A:
\(\Delta U_{CA} = c_{v}(T_{C} - T_{A})\)
Znalezienie temperatur w punktach A, B, C za pomocą równania gazu doskonałego \(pV = nRT\):
\(T_{A} = \frac{p_{0}V_{0}}{R}\)
\(T_{B} = \frac{p_{0}V_{0}}{4R}\)
\(T_{C} = \frac{p_{0}V_{0}}{8R}\)
Wiadomo, że dla jednego mola gazu doskonałego \(c_{p} = c_{v} + R\)
Czyli:
\(\Delta U_{AB} = \Delta Q_{AB} + \Delta W = -(\Delta U_{BC} + \Delta U_{CA})\)
\(\Delta Q_{AB} = -(\Delta W -\Delta U_{BC} + \Delta U_{CA}) = \frac{3}{2}p_{0}V_{0} - c_{p}(T_{B} - T_{C}) - c_{v}(T_{C} - T_{A}) =\)
\(=\frac{3}{2}p_{0}V_{0} - (c_{v} + R)\frac{1}{8R}p_{0}V_{0} + c_{v}\frac{7}{8R}p_{0}V_{0}\)
po uproszczeniu:
\(\Delta Q_{AB} = p_{0}V_{0}\frac{11R - 6c_{v}}{8R}\)
wstawiając do wzoru na zmianę energii wewnętrznej:
\(\Delta U_{AB} = -p_{0}V_{0} \frac{ 6c_{v} + R}{8R}\)
Mam zadanko, które (chyba poprawnie) rozwiązałem, ale wydaje mi się, że coś tu nie gra. Byłbym wdzięczny jeśli ktoś sprawdziłby czy jest rozwiązane poprawnie, a jeśli nie, wskazał błąd/błędy i może coś podpowiedział
Oto treść:
Jeden mol gazu doskonałego przeszedł ze stanu opisanego parametrami \(p_{0}\), \(V_{0}\) do stanu o objętości \(V_{1} = 2V_{0}\). Przemiana prowadzona była tak, że \(pV^3 = const.\). Znajdź pracę, ciepło wymienione z otoczeniem oraz zmianę energii wewnętrznej. Ciepło molowe \(c_{v}\) jest znane.
Na początku praca:
\(dW = -pdV\)
z warunków przemiany \(pV^3 = p_{0}V_{0}^3 \So p = p_{0}(\frac{V_{0}}{V})^3\)
\(dW = -p_{0}V_{0}^3 \frac{dV}{V^3}\)
\(W = -p_{0}V_{0}^3 \int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{dV}{V^3} = 2p_{0}V_{0}^3 (\frac{1}{4V_{0}^2} - \frac{1}{V_{0}^2}) = -\frac{3}{2}p_{0}V_{0}\)
Do znalezienia ciepła i zmiany energii wewnętrznej zrobiłem sobie cykl:
Po kazdym cyklu zmiana energii wewnętrznej:
\(\Delta U_{total} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0\)
Dla B \(\to\) C:
\(\Delta U_{BC} = c_{p}(T_{B} - T_{C})\)
Dla C \(\to\) A:
\(\Delta U_{CA} = c_{v}(T_{C} - T_{A})\)
Znalezienie temperatur w punktach A, B, C za pomocą równania gazu doskonałego \(pV = nRT\):
\(T_{A} = \frac{p_{0}V_{0}}{R}\)
\(T_{B} = \frac{p_{0}V_{0}}{4R}\)
\(T_{C} = \frac{p_{0}V_{0}}{8R}\)
Wiadomo, że dla jednego mola gazu doskonałego \(c_{p} = c_{v} + R\)
Czyli:
\(\Delta U_{AB} = \Delta Q_{AB} + \Delta W = -(\Delta U_{BC} + \Delta U_{CA})\)
\(\Delta Q_{AB} = -(\Delta W -\Delta U_{BC} + \Delta U_{CA}) = \frac{3}{2}p_{0}V_{0} - c_{p}(T_{B} - T_{C}) - c_{v}(T_{C} - T_{A}) =\)
\(=\frac{3}{2}p_{0}V_{0} - (c_{v} + R)\frac{1}{8R}p_{0}V_{0} + c_{v}\frac{7}{8R}p_{0}V_{0}\)
po uproszczeniu:
\(\Delta Q_{AB} = p_{0}V_{0}\frac{11R - 6c_{v}}{8R}\)
wstawiając do wzoru na zmianę energii wewnętrznej:
\(\Delta U_{AB} = -p_{0}V_{0} \frac{ 6c_{v} + R}{8R}\)
