Calka po piramidzie

[Ariana]

Dana jest piramida P o wierzchołkach: (0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (3,3,3). Obliczyć \(\iiint_P z \,dx\,dy\,dz\)

Trzeba całkę sparametryzować, lecz kompletnie nie wiem jak to zrobić. Ten czubek pochylony utrudnia cała sprawę....

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[radagast]

Wprawdzie nie wiem jak to sparametryzować ale wiem , że ma wyjść 1.
Bo jak piramida ma w podstawie trójkąt prostokątny o polu 1 i wysokość 3, to jej objętość wynosi 1.

[kerajs]

O ile dobrze widzę to nie jest to całka z jedynki, więc nie wyraża ona objętości czworościanu.

Niech A= (0,0,0), B=(2,0,0), C=(0,1,0), S=(3,3,3).
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,B,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_2(x,y)\)
Oblicz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty B,C,S i przedstaw je w postaci \(z=f_1(x,y)\)
Wtedy:
\(\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{P}^{}zdP= \int_{0}^{3} \left( \int_{y}^{ \frac{y}{3}+2 } \left( \int_{0}^{f_1}z dz \right) dx \right) dy+\int_{0}^{3} \left( \int_{x}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_2}z dz \right) dy \right) dx-\\
-
\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{-x}{2}+1}^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx-
\int_{2}^{3} \left( \int_{ 3x-6 }^{ \frac{2x}{3}+1 } \left( \int_{0}^{f_3}z dz \right) dy \right) dx\)

[Ariana]

Wiem, że już minęło trochę czasu od kiedy dałam ten post, niemniej może jednak jeszcze ktoś będzie tak miły i mi pomoże:

Wyliczyłam równania płaszczyzn, kilka razy sprawdzałam, więc nie powinno być błędu:
ABS -> z=y
ACS -> z=x
BCS -> \(z= \frac{3}{7} x + \frac{6}{7}y - \frac{6}{7}\)

Całkę iterowaną liczyłam wpierw sama, potem sprawdziłam z programem mathematica i choć powinno wyjść 1, uparcie wychodzi \(\frac{3}{4}\)

Już nie wiem co robić, tym bardziej że nie do końca rozumiem parę rzeczy:
a) dlaczego tam są minusy przed trzecią i czwartą całką?
b) czym jest właściwie ta ostatnia całka i skąd się bierze 3x-6? I dlaczego tam jest całka od 2 do 3?

Z góry dziękuję za odpowiedz, już długą się z tym męczę i nie mogę tego rozgryźć...

[kerajs]

Objętość po której liczysz to ostrosłup o podstawie trójkątnej, a nie piramida.

Wyliczyłam równania płaszczyzn, kilka razy sprawdzałam, więc nie powinno być błędu:
ABS -> z=y
ACS -> z=x
BCS -> \(z= \frac{3}{7} x + \frac{6}{7}y - \frac{6}{7}\)

Płaszczyzny dobrze policzyłaś.

Całkę iterowaną liczyłam wpierw sama, potem sprawdziłam z programem mathematica i choć powinno wyjść 1, uparcie wychodzi \(\frac{3}{4}\)

Dlaczego zakładasz że wynikiem jest 1?
Radagast która to sugerowała, nie zauważyła że funkcją podcałkową nie jest 1, ale z-et.

a) dlaczego tam są minusy przed trzecią i czwartą całką?
b) czym jest właściwie ta ostatnia całka i skąd się bierze 3x-6? I dlaczego tam jest całka od 2 do 3?

Bo uznałem że szybciej będzie wpierw policzyć całkę po ostrosłupie o podstawie czworokąta ABCD (gdzie D=(3,3,0)) i wierzchołku S (jest to suma całek po ostrosłupach o podstawach ACD i ABD i wierzchołku S) a od wyniku odjąć całkę po ostrosłupie o podstawie trójkąta BCD i wierzchołku S (jest to suma całek po ostrosłupach o podstawach BCD' i BDD' i wierzchołku S, gdzie D'=(2,2,0) )

y=3x-6 to prosta na XOY przechodząca przez punkty B i S' , gdzie S' to rzut punktu S na XOY (czyli punkt D).

[Ariana]

kerajs dziękuję Ci bardzo, to rozjaśnia już całą sprawę, nie wpadłabym na ten punkt D i liczenie po ostrosłupie o czworokątnej podstawie. Nie wiedziałam też, że funkcja podcałkowa tak zmienia sprawę