udowodnij

[NieDlaOka37]

Udowodnij, że jeśli:
a) x,y są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2+y^2>=2xy\)
b) x,y,z są liczbamy rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to \(x^2+y^2+z^2>= \frac{1}{3}\)

[irena]

1.
a)
\(x,\ y \in R \Rightarrow (x-y)^2 \ge 0 \Rightarrow x^2-2xy+y^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+y^2 \ge 2xy\)

[irena]

b)
\(x+y+z=1\\(x+y+z)^2=1\\x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1\\x^2+y^2+z^2=1-2(xy+xz+yz)\\2(xy+xz+yz)=1-(x^2+y^2+z^2)\\x^2+y^2-2xy+x^2+z^2-2xz+y^2+z^2-2yz=(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\\2x^2+2y^2+2z^2 \ge 2(xy+xz+yz)\\2(x^2+y^2+z^2) \ge 1-(x^2+y^2+z^2)\\3(x^2+y^2+z^2) \ge 1\\x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}\)

[NieDlaOka37]

Dlaczego w podpunkcie a rozwiązujemy akurat taką nierówność \((x-y)^2>=0\) i skąd wziął się 6 wers w podpunkcie b? Mógłby ktoś wyjaśnić? Z góry dziękuję za odpowiedź

[irena]

w a) nie rozwiązujemy nierówności, tylko dla potrzeb zadania korzystamy ze znanej nierówności (miałeś udowodnić, że \(x^2+y^2 \ge 2xy\)).

w b)- podobnie. W 6. wersie zapisałam równość, którą wykorzystałam później w dowodzie.
Zobacz- ta równość to:
\((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=x^2-2yx+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2\)