forum.zadania.info

Jakiś czas temu na pewnym forum znalazłem taką całkę

\(\int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left(x+2\right)^2}}\mbox{d}x}\)

Wolfram ma kłopoty z jej policzeniem
Niektórzy z forum na którym tę całkę znalazłem twierdzili że nie da się jej policzyć
Nie jest to prawdą choć można mieć takie wrażenie gdy liczy się całki schamatycznie

Spróbujcie sami a jak wam się nie uda to dam podpowiedzi

Mam dla was jeszcze jedną całkę
Tym razem jest ona dużo łatwiejsza choć możecie mieć z nią kłopoty jeśli
całkowania uczyliście się z amerykańskich filmików

\(\int{\frac{x^2}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}\)

Fakt: \((x \sin x+\cos x)'=x\cos x\)

\(\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}= \frac{x^2(\sin^2x+\cos^2x)}{(x\sin x+\cos x)^2}= \frac{x^2\sin^2 x+\sin x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}+ \frac{x^2\cos^2x-\sin x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}= \frac{x\sin x(x\sin x+\cos x)}{(x\sin x+\cos x)^2} + \frac{x\cos x(x\cos x-\sin x)}{(x\sin x+\cos x)^2}\)
Zatem \[\int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}dx=\int \frac{x\sin x}{x\sin x+\cos x} dx + \int\frac{x\cos x(x\cos x-\sin x)}{(x\sin x+\cos x)^2} dx\] \(\int\frac{x\cos x(x\cos x-\sin x)}{(x\sin x+\cos x)^2} dx= \begin{vmatrix}u=\sin x-x\cos x & du=x\sin x dx\\dv= \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2} & v= \frac{1}{x\sin x+\cos x} \end{vmatrix}= \frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x} -\int \frac{x\sin x}{x\sin x+\cos x}dx\)

Wobec tego \[\int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}dx=\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}\]

Ja też zauważyłem że
\(\left(x\sin{x}+\cos{x} \right)' = x\cos{x}\)

więc zapisałem \(x^2=\frac{x}{\cos{x}} \cdot x\cos{x}\)

Zatem co całkowania przez części wziąłem

\(\int{\frac{x}{\cos{x}}\frac{x\cos{x}}{ \left(x\sin{x}+\cos{x} \right)^2 }\mbox{d}x}\)

\(u = \frac{x}{\cos{x}} \qquad \mbox{d}v =\frac{x\cos{x}}{ \left(x\sin{x}+\cos{x} \right)^2 }\mbox{d}x\)

Jakiś pomysł na pierwszą całkę ?

Moje wskazówki to :

1. Jeśli dodamy pewne zero do funkcji podcałkowej
to nie zmieni nam się wynik

2. Jeśli pomnożymy funkcję podcałkową przez pewną jedynkę
to nie zmieni nam się wynik