forum.zadania.info

Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)

agusiaczarna22 pisze:Jak uzasadnić, że podany iloczyn jest zbieżny, a wartosć jego to 1?
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)\)

wypisać:
\(\prod^ \infty_{n=1} \left( 1-\frac{(-1)^n}{n} \right)= \left(1+ \frac{1}{1} \right) \left( 1- \frac{1}{2} \right) \left(1+ \frac{1}{3} \right) \left( 1- \frac{1}{4} \right) \left(1+ \frac{1}{5} \right) \left( 1- \frac{1}{6} \right) ...=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot ...=1\)

a jak uzasadnić, że iloczyn n pierwszych czynników wynosi \(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n}\)?

Ponieważ \((1- \frac{-1}{2k+1})(1- \frac{1}{2k+2})=1\) dla dowolnego naturalnego k to:
\(\prod^ n_{i=1} \left( 1-\frac{(-1)^i}{i} \right)=\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)
co mona zapisać Twoim wzorkiem gdyż:
\(1+ \frac{1-(-1)^n}{2n} =\begin{cases} 1 &\text{dla parzystych n } \\ 1+ \frac{1}{n} &\text{dla nieparzystych n} \end{cases}\)