forum.zadania.info

Witam, mam pytanie czy można tak wyprowadzić wzór na obwód koła?

Środek: (0;0)
Równanie okręgu:
\(y^2 + x^2 = r^2\)
\(y = \sqrt{r^2 - x^2}\)
I teraz obliczamy długość łuku ćwiartki:
Wzór na długość łuku:
\(\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2 }dx\)
Obwód pełnego koła to 4-krotność długości łuku czyli:
\(4\int_{0}^{r}\sqrt{1 + (\frac{-x}{ \sqrt{r^2 - x^2} })^2 }dx\)
\(4\int_{0}^{r}\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2} }dx\)
\(4\int_{0}^{r}\sqrt{ \frac{r^2-x^2}{r^2-x^2} + \frac{x^2}{r^2 - x^2} }dx\)
\(4\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2} }dx\)
\(4r\int_{0}^{r}\frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2} }dx\)
\(4r*arcsin( \frac{x}{r} )\)
\(4r*arcsin( \frac{r}{r} ) -0\)
\(4r*arcsin(1)\)
\(4r* \frac{ \pi }{2}\)
\(2 \pi r\)

No nie bardzo... Skąd wiesz , że \(\arcsin 1= \frac{ \pi }{2}\) (nie znając wzoru na długość okręgu , lub raczej, nie wiedząc, czym jest \(\pi\) ) ?