Wielomian i ciąg arytmetyczny

[Januszgolenia]

Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

[radagast]

Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

załóżmy, że 1 i -1 są pierwiastkami tego wielomianu.
Wówczas: \(\begin{cases}w(1)=0\\w(-1)=0 \end{cases}\)
czyli: \(\begin{cases}a+b+c+d=0\\-a+b-c+d=0 \end{cases}\)
czyli (po dodaniu i odjęciu stronami równań ukladu) \(\begin{cases}b+d=0\\a+c=0 \end{cases}\)
a skoro\(\left(a,b,c,d \right)\) jest arytmetyczny to
\(\begin{cases}c= \frac{b+d}{2}\\ b= \frac{a+c}{2} \end{cases}\)
czyli \(c=b=0\)
czyli wielomian \(w\) musiałby być wielomianem zerowym, nie byłby więc wielomianem trzeciego stopnia - sprzeczność.

[damianolejj]

super to pokazałeś