Proszę o wytłumaczenie pewnej kwestii

[tometomek91]

Rozważmy dowolne liczby rzeczywiste \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\). Przyjmijmy ponadto, że \(a_{n+1}=a_{1}\). Dla każdego \(i=1,2,...,n\) mamy

\((a_{i}-a_{i+1})^{2}=a_{i}^{2}-2a_{i}a_{i+1}+a_{i+1}^{2}\).

Sumując stronami wszystkie równości dla \(i=1,2,...,n\) otrzymamy

\(\sum_{i=1}^{n} (a_{i}-a_{i+1})^{2}=2 \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} - 2 \sum_{i=1}^{n} a_{i}a_{i+1}\),

czyli

\(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{n} a_{i}a_{i+1}= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (a_{i}-a_{i+1})^{2}\).

Ponieważ liczba po prawej stronie otrzymanej równości jest nieujemna, prawdziwa jest nierówność

\(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \ge \sum_{i=1}^{n} a_{i}a_{i+1}\)

A teraz pytanie: Skąd wzięło się w drugiej linijce \(\left( 2 \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \right)\), wg mnie powinno być \(\left( \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} + \sum_{i=1}^{n} a_{i+1}^{2} \right)\). Proszę o wyjaśnienia.

[irena]

Jak doda się te kwadraty, to otrzyma się: \(a_1^2+ \sum_{i=2}^{n}2a_i^2 +a_{n+1}^2\), ale \(a_{n+1}^2=a_1^2\). Stąd:
\(\sum_{i=1}^{n} 2a_i^2\).

Twój zapis:
\(\sum_{i=1}^{n} a_i^2+ \sum_{i=1}^{n} a_{i+1}^2\) oznacza tak naprawdę to samo:
\(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+a_{n+1}^2=2a_1^2+2a_2^2+2a_3^2+...+2a_{n-1}^2+2a_n^2= \sum_{i=1}^{n}2a_i^2\)