forum.zadania.info

Korzystając z odpowiednich definicji, wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n= \frac{n^2+1}{n}\) jest rozbieżny do \(+ \infty\)

Należy pokazać, że
\(\displaystyle \forall M>0 \ \ \exists n_0 : n>n_0 \So \frac{n^2+1}{n}>M\)
No to do dzieła:
Niech \(M>2\) . (Jeśli nie, to \(n_0 =0\))
\(\frac{n^2+1}{n}>M \iff\\
n^2+1>nM \iff \\
n^2-nM+1>0\iff \\
n^2-2n \frac{M}{2} +1>0 \iff \\
\left(n- \frac{M}{2} \right) ^2- \frac{ M^2}{4}+1>0 \iff \\
\left(n- \frac{M}{2} \right) ^2> \frac{ M^2}{4}-1 \iff \\
n > \sqrt{ \frac{ M^2}{4}-1}+ \frac{M}{2} \\\)
niech \(n_0= \left[\sqrt{ \frac{ M^2}{4}-1}+ \frac{M}{2} \right]+1\) wtedy, dla \(n>n_0,\ \ \ \frac{n^2+1}{n}>M\)
CBDO