forum.zadania.info

Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn, które są dwusiecznymi kątów dwuściennych przez płaszczyzny:
\(\pi _1: 5x+y-z+24=0\)
\(\pi _2:\)
\(x=1+2s-t\)
\(y=1+s-2t\)
\(z=-s-t\)
\(s,t \in R\)

pomoże ktos?

Niech \(v_1\) i \(v_2\) będą unormowanymi (czyli o długości 1) wektorami normalnymi podanych płaszczyzn. Wtedy wektory normalne szukanych płaszczyzn to \(v_1+v_2\) oraz \(v_1-v_2\). Musisz jeszcze wybrać dowolny punkt z prostej będącej częścią wspólną podanych płaszczyzn. Będzie on punktem zaczepienia szukanych płaszczyzn.
Zakładam, że poradzisz sobie z rachunkami.

Dziękuję za pomoc.

Mam pytanie:
Obliczyłam (podstawiając), że \(t=2s+5\), ale zupełnie nie wiem co dalej. Bardzo proszę o pomoc.

Dobierz sobie dowolną wartość s (np: s=0) a dostaniesz t. Możesz tak zrobić gdyż płaszczyznę możesz zaczepić w dowolnym punkcie prostej będącej częścią wspólną podanych płaszczyzn. I tak szukane płaszczyzny będą zawierały całą prostą (jest ona osią pęku płaszczyzn zawierających płaszczyzny zadane oraz szukane).

Jakie wyszły Ci unormowane wektory normalne płaszczyzn \(\pi_1 \ i \ \pi_2\) ?

nie wiem jak obliczyc wektory normalne.
Skoro s=0 to t=5.

Czyli masz punkt w którym zaczepisz szukane proste. Wstawiając do równania parametrycznego płaszczyzny \(\pi_2\) wartości parametrów s, t dostałaś \(P=(-4,-9,-5)\)

W równaniu ogólnym płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wektorem normalnym jest n=[A,B,C].
W równaniu parametrycznym musisz go wyliczyć z iloczynu wektorowego wektorów na których rozpinasz płaszczyznę. Tu liczysz n=[2,1,-1]x[-1,-2,-1].

Wektor unormowany dostaniesz przez podzielenie współrzędnych wektora przez jego długość.
Np:
\(\vec{k} = \left[ 2,-1,-2\right] \\
| \vec{k}|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =3\\
\vec{k_u}= \left[ \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right]\)

kerajs pisze:Czyli masz punkt w którym zaczepisz szukane proste. Wstawiając do równania parametrycznego płaszczyzny \(\pi_2\) wartości parametrów s, t dostałaś \(P=(-4,-9,-5)\)

W równaniu ogólnym płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wektorem normalnym jest n=[A,B,C].
W równaniu parametrycznym musisz go wyliczyć z iloczynu wektorowego wektorów na których rozpinasz płaszczyznę. Tu liczysz n=[2,1,-1]x[-1,-2,-1].

Wektor unormowany dostaniesz przez podzielenie współrzędnych wektora przez jego długość.
Np:
\(\vec{k} = \left[ 2,-1,-2\right] \\
| \vec{k}|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =3\\
\vec{k_u}= \left[ \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right]\)

Mi wyszło tak:
\(\vec{k} = \left[ -3,3,-3\right] \\
| \vec{k}| =3 \sqrt{3} \\
\vec{k_u}= \left[ -\frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{1}{ \sqrt{3} }, -\frac{1}{ \sqrt{3} } \right]\)

co dalej?

Dobrze. A ile wynosi unormowany wektor normalny płaszczyzny \(\pi_1\) ?

Później wylicz wektory normalne szukanych płaszczyzn, jak to opisałem w pierwszej odpowiedzi, i napisz równania ogólne szukanych płaszczyzn. The end.

A ile wynosi unormowany wektor normalny płaszczyzny \(\pi_1\) ?

1?

nie zupełnie wiem jak to dokonczyc:(

\(\vec{n_1}= \left[ 5,1,-1\right]\)
\(\vec{n_{1u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]\)

\(S_1:\\
\vec{v_1}= \vec{n_{1u}} +\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]+ \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{2}{3 \sqrt{3} } , \frac{4}{3 \sqrt{3} }, \frac{-4}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{4}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{-4}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} }x + \frac{4}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{-4}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)

\(S_2:\\
\vec{v_2}= \vec{n_{1u}} -\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]- \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{8}{3 \sqrt{3} } , \frac{-2}{3 \sqrt{3} }, \frac{2}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{-2}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{2}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} }x + \frac{-2}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{2}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)