zadanie z parametrem

[mahidevran]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x3−mx+2=0 ma trzy rozwiązania. Prosze o pomoc, próbwałam z pochodnych ale nic z tego..

[radagast]

Wyznacz eksterema i zadziałaj tak, żeby jedno było dodatnie, a drugie ujemne

Wychodzi mi m>3.

[mahidevran]

Wyznacz eksterema i zadziałaj tak, żeby jedno było dodatnie, a drugie ujemne

Wychodzi mi m>3.

pochodna z tej funkcji bedzie f'(x)= 3x^2 -m?

[radagast]

Tak. Właśnie taka
\(f'(x)= 3x^2 -m=3 \left( x^2- \sqrt{\frac{m}{3}}^2 \right)=3 \left( x- \sqrt{\frac{m}{3}} \right)\left( x+ \sqrt{\frac{m}{3}} \right)\)
Wniosek: funkcja ma ekstrema wyłącznie wtedy, gdy \(m>0\).
I teraz trzeba zadbać aby \(f \left( \sqrt{\frac{m}{3} } \right)<0\) czyli
\(\sqrt{\frac{m}{3}}^3−m\sqrt{\frac{m}{3}}+2<0\)
\(\frac{m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}−m\sqrt{\frac{m}{3}}+2<0\)
\(2<\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}\)
\(3<m\sqrt{\frac{m}{3}}\)
\(9< \frac{m^3}{3}\)
\(27<m^3\)
\(m>3\)
Odp: Podane równanie ma 3 rozwiązania gdy \(m>3\).