forum.zadania.info

1. Przedstaw w tabeli możliwe wartości zmiennej losowej xi (ilość wylosowanych reszek) z ich prawdopodobieństwami. Jako doświadczenie analizujemy I) rzut 4 monetami, II) rzut 5 monetami. Jaka jest wartość oczekiwana i odchylenie standardowe danej zmiennej losowej?

2. Korzystając z rozkładu dwumianowego określ prawdopodobieństwa wylosowania
a) 2 reszek w 4 rzutach,
b) 3 reszek w 6 rzutach,
c) 4 reszek w 8 rzutach,
d) 5 reszek w 10 rzutach,
e) co najwyżej 2 reszek w 4 rzutach,
f) co najwyżej 3 reszek w 6 rzutach,
g) co najwyżej 4 reszek w 8 rzutach
h) co najmniej 2 (3, 4) orłów dla czterech, sześciu, ośmiu rzutów.

3. Zmienną losową xi jest ilość asów wylosowanych z talii kart w pięciu losowaniach (talia 24 karty). Określ prawdopodobieństwa uzyskania określonych xi. Losowanie jest ze zwracaniem.

4. Prawdopodobieństwo wygrania na loterii wynosi 0,01. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 1 losu wygrywającego, dwóch takich losów, trzech, czterech, pięciu, nie wylosowania żadnego losu wygrywającego, jeśli a) kupiono 50 losów (rozkład Poissona), b) kupiono 5 losów (rozkład dwumianowy)? Dla podpunktu b) wylicz dodatkowo prawdopodobieństwo wylosowania więcej niż dwóch losów wygrywających.

5. W serii liczącej 100 sztuk zdarza się średnio 5 sztuk wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując:
a) 6 sztuk trafimy na 1 wadliwą,
b) 10 sztuk trafimy na 5 wadliwych.

6. Wśród 60 ankietowanych osób 30 wybrało produkt A, 10 – B, 12 – C, 6 – D, 2 – E. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej grupie:
a) 10 osób wszystkie są zwolennikami produktu A,
b) 11 osób, 3 wybrało produkt A, 2 – B, 6 – C.

7. Jakie jest prawdopodobieństwo że, losując po 1 karcie z talii liczącej 24 karty pierwszy as pojawi się w pierwszym (odpowiednio drugim, trzecim, czwartym lub piątym) losowaniu. Po każdym losowaniu kartę zwracamy do talii. Określ średnią (oczekiwaną) ilość losowań po której pojawi się as. Przeprowadź podobną analizę dla sytuacji bez zwracania kart do talii.

8. Dany jest rozkład normalny o średniej arytmetycznej 15 i odchyleniu standardowym 3. Jaka część zbiorowości statystycznej należącej do tego rozkładu jest zawarta w następujących przedziałach zwykłej zmiennej losowej:
a) (15 ; 18), b) (12 ; 15), c) (9 ; 12), d) (6 ; 12), e) (6 ; 18), f) (13,5 ; 16,5)
Jaka część zbiorowości statystycznej należącej do tego rozkładu jest zawarta w następujących przedziałach zmiennej losowej standaryzowanej Z:
a) (-1 ; 0), b) (-2 ; -1), c) (-3 ; -1), d) (0 ; 0,5), e) (-0,5 ; 0,2), f) (-0,5 ; -0,2),
g) (1,2 ; 1,8), h) (-0,6 ; 0,6)

9. Wylicz prawdopodobieństwa wylosowania (trafienia) „jedynki”, „dwójki”, „trójki”, „czwórki” i „piątki” w totolotku.

niesmiala pisze:1. Przedstaw w tabeli możliwe wartości zmiennej losowej xi (ilość wylosowanych reszek) z ich prawdopodobieństwami. Jako doświadczenie analizujemy I) rzut 4 monetami,

\(EX= \sum_{i=0}^{4} x_i \cdot p(x_i)=0 \cdot 0,0625+1 \cdot 0,25+2 \cdot 0,375+3 \cdot 0,25+4 \cdot 0,0625=2\)
rozkład zmiennej \(X^2\) to \(EX^2= \sum_{i=0}^{4} x_i^2 \cdot p(x_i)=0 \cdot 0,0625+1 \cdot 0,25+4 \cdot 0,375+9 \cdot 0,25+16 \cdot 0,0625=5\)
zatem wariancja zmiennej losowej \(X\) wynosi \(D^2X=EX^2-E^2X=5-4=1\)
odchylenie standardowe \(\sigma= \sqrt{D^2X}= \sqrt{1}=1\)
II) Rzut 5 monetami analogicznie.

niesmiala pisze:
2. Korzystając z rozkładu dwumianowego określ prawdopodobieństwa wylosowania
a) 2 reszek w 4 rzutach,

\({4 \choose 2 } \left( \frac{1}{2} \right)^4= \frac{3}{8}\)

niesmiala pisze:b) 3 reszek w 6 rzutach,

\({6 \choose 3 } \left( \frac{1}{2} \right)^6= \frac{5}{16}\)

niesmiala pisze:c) 4 reszek w 8 rzutach,

\({8 \choose 4 } \left( \frac{1}{2} \right)^8= \frac{35}{128}\)

niesmiala pisze:d) 5 reszek w 10 rzutach,

\({10 \choose 5 } \left( \frac{1}{2} \right)^{10}\)

niesmiala pisze:e) co najwyżej 2 reszek w 4 rzutach,

\({4 \choose 2 } \left( \frac{1}{2} \right)^4+{4 \choose 1 } \left( \frac{1}{2} \right)^4+{4 \choose 0 } \left( \frac{1}{2} \right)^4\)

niesmiala pisze:f) co najwyżej 3 reszek w 6 rzutach,

\({6 \choose 3 } \left( \frac{1}{2} \right)^6+{6 \choose 2 } \left( \frac{1}{2} \right)^6+{6 \choose 1 } \left( \frac{1}{2} \right)^6+{6 \choose 0 } \left( \frac{1}{2} \right)^6\)

niesmiala pisze:g) co najwyżej 4 reszek w 8 rzutach

...

niesmiala pisze:h) co najmniej 2 (3, 4) orłów dla czterech, sześciu, ośmiu rzutów.

...
dokończ sobie. To wszystko idzie analogicznie.

niesmiala pisze:
3. Zmienną losową xi jest ilość asów wylosowanych z talii kart w pięciu losowaniach (talia 24 karty). Określ prawdopodobieństwa uzyskania określonych xi. Losowanie jest ze zwracaniem.

\(p(x_0)= \left( \frac{5}{6} \right)^5= \frac{3125}{7776}\)
\(p(x_1)= {5 \choose 1} \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^4=...\)
\(p(x_2)= {5 \choose 2} \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3=...\)
\(p(x_3)= {5 \choose 3} \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2=...\)
\(p(x_4)= {5 \choose 4} \left( \frac{1}{6} \right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)=...\)
\(p(x_5)= \left( \frac{1}{6} \right)^5 =...\)